Suite de Mian-Chowla

En théorie des nombres, la suite de Mian-Chowla est une suite d'entiers définie de manière récursive par l'algorithme glouton suivant : le terme courant est le plus petit entier tel que les sommes de deux termes quelconques précédant ou égal au terme courant sont toutes distinctes. La suite a été définie par les mathématiciens Abdul Majid Mian et Sarvadaman Chowla.

Les premiers termes de la suite de Mian-Chowla sont : 1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204, 252, 290, 361,...

Définition

La suite commence par

$a_1=1$,

puis pour tout $n>1$, l'entier $a_n$ est le plus petit entier tel que les sommes

$a_i+a_j$, pour $i,j\le n$ sont toutes distinctes.

Le terme qui suit $a_1=1$ est $a_2=2$, car les sommes 1+1=2, 1+2=3 et 2+2=4 sont toutes distinctes. Le nombre $a_3$ ne peut être 3 car sinon il y aurait deux sommes de même valeur 1+3=2+2=4 ; mais $a_3$ vaut 4, car les sommes deux-à-deux sont toutes distinctes et prennent les valeurs égales à 2, 3, 4, 5, 6 et 8.

Propriétés

Par sa définition, la suite de Mian-Chowla est une suite de Sidon infinie. La limite de la somme des inverses des entiers de la suite de Mian-Chowla, est encadrée par :

$2,158452685\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_i}\le 2,15846062$,

donc que la somme est proche de 2,1585. Rachel Lewis a observé que la somme des carré des inverses tend vers 1,33853369 et que la somme des cubes des inverses est proche de 1,14319352.

Variante

Si l'on remplace le terme initial $a_1=1$ par $a_1=0$, toutes les valeurs de la suite sont diminuées d'un unité, c'est-à-dire 0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44, 65, 80, 96, ...

Voir aussi

Bibliographie

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Articles connexes

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• Suite de Sidon

Liens externes

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