Suite de Somos

En mathématiques, une suite de Somos est une suite de nombres définie par une certaine relation de récurrence ; elles furent découvertes par Modèle:Lien. Il n'est nullement évident d'après leur définition qu'elles soient formées d'entiers, mais c'est cependant le cas des sept premières suites.

Relations de récurrence

Pour un entier k > 1, la k-suite de Somos $(a_0,a_1,a_2,\dots )$ est définie par la relation de récurrence :

$a_n{a}_{n-k}=a_{n-1}{a}_{n-k+1}+a_{n-2}{a}_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}{a}_{n-(k+1)/2}$

pour k impair, et par la relation similaire

$a_n{a}_{n-k}=a_{n-1}{a}_{n-k+1}+a_{n-2}{a}_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2}{)}^2$

pour k pair, avec les valeurs initiales

a_i = 1 pour i < k.

Pour k = 2 ou 3, ces relations définissent la suite constante (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). Les deux premiers cas non triviaux correspondent aux récurrences

$a_n=\frac{a_{n-1}{a}_{n-3}+a_{n-2}^2}{a_{n-4}}$

pour k = 4 et

$a_n=\frac{a_{n-1}{a}_{n-4}+a_{n-2}{a}_{n-3}}{a_{n-5}}$

pour k = 5.

Les premières valeurs de ces suites sont :

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (k=4, Modèle:OEIS),

1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (k=5, Modèle:OEIS),

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (k=6, Modèle:OEIS),

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (k=7, Modèle:OEIS).

Suites d'entiers

Bien que les récurrences précédentes définissent les suites de Somos sous forme de fractions, les suites pour k ≤ 7 ne contiennent que des valeurs entières. Plusieurs mathématiciens ont étudié cette propriété, pour la démontrer ou pour l'expliquer plus généralement, en la reliant en particulier à d'autres questions, comme celle des fonctions thêta sur des surfaces abéliennesModèle:,Modèle:,.

Pour k ≥ 8, les suites analogues finissent par contenir des valeurs non entières ; même pour k < 7, la même relation de récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes, produit également des valeurs non entières en général.

Liens externes

• Modèle:En Site de Jim Propp sur les suites de Somos.
• Modèle:MathWorld.
• Modèle:Youtube.