Suite de composition
La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes.
Définitions
Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition[1] de G toute suite finie (GModèle:Sub, GModèle:Sub, …, GModèle:Sub) de sous-groupes de G telle que
et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, GModèle:Sub soit sous-groupe normal de GModèle:Sub.
Les quotients GModèle:Sub/GModèle:Sub sont appelés les quotients de la suite[2].
- Soient ΣModèle:Sub = (GModèle:Sub, GModèle:Sub, …, GModèle:Sub) et ΣModèle:Sub = (HModèle:Sub, HModèle:Sub, …, HModèle:Sub) deux suites de composition de G. On dit que
- ΣModèle:Sub est un raffinement[3] de ΣModèle:Sub, ou encore que ΣModèle:Sub est plus fine[4] que ΣModèle:Sub, si ΣModèle:Sub est extraite de ΣModèle:Sub, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que GModèle:Sub = HModèle:Sub pour tout Modèle:Nobr
- ΣModèle:Sub et ΣModèle:Sub sont équivalentes[4]Modèle:,[5] si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient GModèle:Sub/GModèle:Sub soit isomorphe au quotient HModèle:Sub/HModèle:Sub.
- Soit Σ = (GModèle:Sub, GModèle:Sub, …, GModèle:Sub) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;
b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;
c) pour tout i ∈ [0, r – 1], GModèle:Sub est un sous-groupe distingué maximal[6] de GModèle:Sub (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de GModèle:Sub).
On appelle suite de Jordan-Hölder[7] une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).
Remarque : les auteurs de langue anglaise[8] appellent Modèle:Citation étrangère ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.
Quelques faits
- Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
- [[Groupe symétrique|SModèle:Sub]] ⊃ [[Groupe alterné|AModèle:Sub]] ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder.
- Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.
- On en déduit[9] que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition strictement décroissante de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
- Si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient de cette suite est à la fois simple et résoluble, donc est cyclique d'ordre premier, et G est donc fini. En particulier, un groupe abélien infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder.
- Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder[10].
- Théorème de Jordan-Hölder : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.
Généralisation aux groupes à opérateurs
Soient G un groupe à opérateurs et e son élément neutre. On appelle suite de composition[11] de G toute suite finie (GModèle:Sub, GModèle:Sub, …, GModèle:Sub) de sous-groupes stables de G telle que
et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, GModèle:Sub soit sous-groupe normal de GModèle:Sub.
Les quotients GModèle:Sub/GModèle:Sub sont appelés les quotients de la suite[2].
Une suite principale d'un groupe peut être considérée comme une suite de Jordan-Hölder d'un certain groupe à opérateurs.
Notes et références
Voir aussi
- ↑ Définition conforme à Modèle:Ouvrage, ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39, ou encore à Modèle:Ouvrage, ou encore à S. Lang, Algèbre, Modèle:3e révisée, Paris, 2004, p. 19.
- ↑ 2,0 et 2,1 Définition conforme à Modèle:Harvsp, ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39-40.
- ↑ Dénomination conforme à Modèle:Harvsp.
- ↑ 4,0 et 4,1 Dénomination conforme à Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Ouvrage, dit « isomorphic ».
- ↑ Ne pas confondre avec la notion de sous-groupe maximal d'un groupe.
- ↑ Définition conforme à Modèle:Harvsp, ch. I, § 4, n° 7, déf. 10, p. 41.
- ↑ Voir par exemple Modèle:Harvsp.
- ↑ Voir par exemple Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Définition conforme à Modèle:Harvsp.