Suite des nombres gâteaux

En mathématiques, le nombre gâteau d'ordre n, noté $G_{n}$ , est le nombre maximum de régions obtenues en coupant un cube par Modèle:Mvar plans. Son appellation vient de ce qu'il représente le nombre maximal de parts que l'on peut obtenir dans un gâteau en effectuant Modèle:Mvar coups de couteau.

Les valeurs de $G_{n}$ pour $n ⩾ 0$ sont données par la Modèle:OEIS :

Modèle:Nobr .

C'est un exemple de suite commençant par 1, 2, 4, 8 qu'il ne faut pas continuer par 16, 32, etc.

Formules générales

Le nombre gâteau correspondant à Modèle:Mvar découpes est donné par les formules^[1] :

G_{n} = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + (\binom{n}{3}) = \frac{1}{6} (n^{3} + 5 n + 6) = \frac{1}{6} (n + 1) (n (n - 1) + 6) .

Propriétés

Le seul nombre gâteau premier est 2.

La suite des nombres gâteaux est l'analogue tridimensionnel de la suite du traiteur paresseux en dimension deux. La suite des différences entre deux nombres gâteaux successifs donne également la suite du traiteur paresseux ^[1].

La suite des nombres gâteaux est donnée par la quatrième colonne du triangle de Bernoulli complété, soit $G_{n} = B_{n, 3}$ .

Elle s'obtient en effectuant la somme des 4 premières colonnes du triangle de Pascal ^[2].

Démonstration

Supposons qu'il y ait déjà Modèle:Mvar – 1 plans découpant le "gâteau" en un nombre maximal $G_{n - 1}$ de morceaux, et ajoutons un plan ^[2]. Ce plan va couper chacun des Modèle:Mvar – 1 plans suivant Modèle:Mvar – 1 droites. Ces droites découpent dans ce nouveau plan un nombre de régions égal au maximum à $B_{n - 1, 2}$ (suite du traiteur paresseux). Chacune de ces régions est une cloison séparant en deux un morceau précédent. Il y a donc $B_{n - 1, 2}$ morceaux qui sont coupés en deux, créant ainsi autant de nouveaux morceaux en plus des $G_{n - 1}$ déjà présents ; donc $G_{n} = B_{n - 1, 2} + G_{n - 1}$ ; en itérant, on obtient que $G_{n} = B_{n - 1, 2} + B_{n - 2, 2} + \dots + B_{0, 2} + G_{0} = B_{n - 1, 2} + B_{n - 2, 2} + \dots + B_{0, 2} + 1$ ; ce nombre est bien $B_{n, 3} = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + (\binom{n}{3})$ (voir l'article triangle de Bernoulli).

Plus généralement, le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un hypercube de $ℝ^{k}$ par Modèle:Mvar hyperplans affines est égal à $B_{n, k} = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + \dots + (\binom{n}{k})$ .

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Voir aussi

Liens externes

Modèle:Portail

↑ ^1,0 et ^1,1 Modèle:Ouvrage.
↑ ^2,0 et ^2,1 Modèle:OEIS2C

[Yaglom-Yaglom-1] 1,0 et ^1,1 Modèle:Ouvrage.

[:0-2] 2,0 et ^2,1 Modèle:OEIS2C

[1]

[2]

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