Système de Garside

Définition

Un système de Garside est la donnée d'un couple $(M,\mathrm{\Delta })$ où

1. $M$ est un monoïde simplifiable, sans élément inversible autre que 1 et admettant des PPCM et des PGCD (pour la divisibilité) ;
2. $\mathrm{\Delta }$ est un élément de Garside :
   • ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}}_{\mathrm{L}}\mathrm{\Delta }\mathrm{=}{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}}_{\mathrm{R}}\mathrm{\Delta }$ (et on écrit par la suite $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{\Delta }$ pour cet ensemble) ;
   • $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{\Delta }$ engendre $M$ ;
   • $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{\Delta }$ est fini.

où ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}}_{\mathrm{L}}\mathrm{\Delta }$ (resp. ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}}_{\mathrm{R}}\mathrm{\Delta }$) désigne l'ensemble des diviseurs à gauche (resp. à droite) de $\mathrm{\Delta }$.

Exemple

Le monoïde des tresses à trois brins $B_3^{+}$ présenté par $⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2;{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1={\sigma }_2{\sigma }_1{\sigma }_2{⟩}^{+}$ et l'élément ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1$ forment un système de Garside.