Test de sphéricité de Bartlett

Le test de sphéricité de Bartlett est un test statistique relatif à l’indépendance globale des composantes d’un vecteur aléatoire. Il est basé sur le déterminant d’une estimation de la matrice de corrélation.

Énoncé

Partant d’un échantillon de n réalisations (indépendantes) d’un ensemble de p variables aléatoires réelles $X_1,\dots ,X_p$, le test concerne la validité de

• $H_0$ (hypothèse nulle) : les variables sont globalement indépendantes.
• $H_1$ : les variables sont globalement dépendantes.

En se basant sur une estimation R de la matrice de corrélation, le test évalue

${\chi }^2=-(n-1-\frac{2p+5}{6})\log (|\det R|)$

qui, sous $H_0$, suit « approximativement » une loi du χ² disposant de $\frac{p(p-1)}{2}$ degrés de liberté.

Remarques

• Si les variables sont indépendantes, la matrice de corrélation est égale à la matrice identité, son estimation R devrait s’en approcher, son déterminant avoisine 1 et $\ln (|\det (R)|)\simeq 0$. Dans le cas contraire, R devient singulière, le déterminant s’approche de zéro et le $ln()$ prend des valeurs négatives.