Vecteur aléatoire

Modèle:Ébauche Un vecteur aléatoire est aussi appelé variable aléatoire multidimensionnelle.

Définition

Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Alors qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de ${ℝ}^n$ :

$X:\omega \mapsto X(\omega )=(X_1(\omega ),X_2(\omega ),\dots ,X_n(\omega ))$

où Modèle:Mvar est l'élément générique de Modèle:Math, l'espace de toutes les éventualités possibles.

Les applications Modèle:Math sont des variables aléatoires réelles appelées composantes du vecteur aléatoire X. On note alors Modèle:Math.

Une application Modèle:Mvar de $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ (définie sur Modèle:Math), à valeurs dans l'espace ${ℝ}^n$ muni de la tribu des boréliens de ${ℝ}^n$, est un vecteur aléatoire si elle est mesurable.

Fonction de répartition

Soit $X=(X_1,\dots ,X_n)$ un vecteur aléatoire. Sa fonction de répartition $F:{ℝ}^n\to ℝ$ est ainsi définie :

$F(x_1,\dots ,x_n)=\mathbb{P}((X_1\le x_1)\cap \cdots \cap (X_n\le x_n))$

Indépendance de vecteurs aléatoires

Définition

Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et seulement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée est égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée. De plus la covariance des deux vecteurs est nulle.

Exemple

Soit $(\mathrm{\Omega },𝒯,\mathbb{P})$ un espace probabilisé. On pose trois vecteurs aléatoires.

$X(\mathrm{\Omega })=\{x_1,...,x_p\},Y(\mathrm{\Omega })=\{y_1,...,y_q\},Z(\mathrm{\Omega })=\{z_1,...,z_r\}.$

Par leur indépendance, on a :

$\mathbb{P}(X=x_i,Y=y_j,Z=z_k)=\mathbb{P}(X=x_i)\cdot \mathbb{P}(Y=y_j)\cdot \mathbb{P}(Z=z_k),\mathrm{\forall }i\in [[1;p]],j\in [[1;q]],k\in [[1;r]].$

Vecteur gaussien

Définition

Un vecteur aléatoire de dimension Modèle:Mvar est un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable gaussienne.

Propriétés

• Soit $X$ un vecteur gaussien à valeurs dans ${ℝ}^p$. On note $m$son espérance et $\mathrm{\Sigma }$ sa matrice de covariance. Soit $A\in M_{n,p}(ℝ)$et $b\in {ℝ}^n$. Alors le vecteur aléatoire $AX+b$ est gaussien, son espérance est $Am+b$ et sa matrice de covariance $A\mathrm{\Sigma }{A}^T$.
• Étant donné un vecteur gaussien $X=(X_1,\dots ,X_n)$, alors chacune de ses composantes suit une loi gaussienne. En effet, pour tout $i\in [[1,n]]$, on peut écrire : $X_i=\sum _{j=1}^n{\delta }_{ij}{X}_j$, où ${\delta }_{ij}$ est le symbole de Kronecker.
• En revanche, la réciproque est fausse, on peut avoir toutes les composantes d'un vecteur $X$ qui suivent chacune une loi gaussienne, sans pour autant que $X$ soit un vecteur gaussien. Par exemple, si $X$ et $\epsilon$ sont des variables aléatoires indépendantes de lois respectives gaussiennes centrée réduite et de Rademacher, $X+\epsilon X$ admet $0$ comme atome et ne suit donc pas une loi gaussienne, donc $(X,\epsilon X)$ n'est pas un vecteur gaussien. Cependant, $X$ et $\epsilon X$ suivent une loi gaussienne centrée réduite.
• Soit $(X_i{)}_{1⩽i⩽n}$une famille de variables aléatoires réelles gaussiennes et indépendantes. Alors le vecteur aléatoire $(X_1,...,X_n)$ est gaussien.

Construction d'un vecteur gaussien à partir de sa matrice de covariance

Il est notable que toute matrice définie positive est la matrice de covariance d'un vecteur gaussien. De plus on peut déterminer un unique vecteur gaussien à partir de cette matrice et d'un vecteur réel (correspondant au vecteur des moyennes du vecteur gaussien).

De plus, on peut calculer la densité de ce vecteur gaussien.

Enfin, on peut noter cette relation entre Modèle:Mvar vecteur gaussien et un vecteur de lois normales centrées réduites indépendantes :

Fonction caractéristique

On peut calculer la fonction caractéristique d'un vecteur gaussien :

On peut notamment lire directement les caractéristiques d'un vecteur gaussien sur sa transformée de Fourier. En effet, si $X=(X_1,\dots ,X_n)$ est un vecteur gaussien de fonction caractéristique définie par :

$\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n,{\mathrm{\Phi }}_X(x_1,\dots ,x_n)=\exp (\mathrm{i}\sum _{i=1}^n{x}_i{\mu }_i-\frac{1}{2}\sum _{1\le i,j\le n}{\mathrm{\Gamma }}_{i,j}{x}_i{x}_j)$

Alors son vecteur de moyenne est donné par $\mu =({\mu }_i{)}_{1\le i\le n}$ et sa matrice de covariance par $\mathrm{\Gamma }=({\mathrm{\Gamma }}_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$.

Notes et références

Bibliographie

• Patrick Bogaert, Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, De Boeck Université, 2006, Bruxelles
• Alain Combrouze, Probabilités 1, Presses universitaires de France, Paris, 1996.
• Yves Ducel, Introduction à la théorie mathématique des probabilités, Ellipses , 1998, Modèle:ISBN
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie des probabilités, Ellipses , 1996, Modèle:ISBN

Liens internes

• Variable aléatoire
• Variable aléatoire réelle

Liens externes

• Vecteurs aléatoires gaussiens
• Vecteurs aléatoires - rappels et compléments