Théorème d'Easton

En théorie des ensembles, le théorème d'Easton est un résultat décrivant les nombres cardinaux possibles pour des ensembles de parties. Modèle:Lien (améliorant un résultat de Robert Solovay) montra par forcing que les seules contraintes sur les valeurs possibles de 2^κ, où κ est un cardinal régulier, sont celles découlant du théorème de Cantor et du théorème de König : $\text{si }\kappa <\lambda \text{, alors }{2}^{\kappa }\le 2^{\lambda }$, et $\kappa <\mathrm{cf}(2^{\kappa })$ (où cf(α) est la cofinalité de α).

Énoncé

Plus généralement, le théorème s'applique à n'importe quelle application G d'une partie de la classe des ordinaux vers elle-même telle que :

1. G est non-décroissante,
2. la cofinalité de ${\mathrm{\aleph }}_{G(\alpha )}$ est plus grande que ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ quel que soit α (appartenant au domaine de G) ,
3. ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ est régulier quel que soit α appartenant au domaine de G ;

il affirme qu'alors il existe un modèle de ZFC tel que

$2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}={\mathrm{\aleph }}_{G(\alpha )}$ quel que soit α (appartenant au domaine de G).

La démonstration utilise le forcing (avec une classe propre de conditions de forcing) sur un modèle de ZFC satisfaisant de plus l'hypothèse du continu généraliséeModèle:Sfn.

Les deux premières conditions du théorème correspondent à des propriétés possédées par l'application $G:\kappa \mapsto 2^{\kappa }$, la seconde résultant du théorème de König.

Le théorème ne s'applique pas aux puissances de cardinaux singuliers ; dans le modèle construit par Easton, ceux-ci ont le plus petit cardinal compatible avec le fait que l’application $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ est non décroissante et que 2^κ est de cofinalité supérieure à κ.

Cardinaux singuliers

Jack Silver a démontré qu’un cardinal singulier de cofinalité non dénombrable ne pouvait pas être le plus petit cardinal ne vérifiant pas l’hypothèse généralisée du continuModèle:Note, ce qui montre que le théorème d'Easton ne peut être étendu à la classe de tous les cardinaux. La Modèle:Lien donne des résultats sur les valeurs possibles de la fonction $\lambda \mapsto 2^{\lambda }$ lorsque $\lambda$ est un cardinal singulier, et montre en particulier que, contrairement à ce qui se passe pour les cardinaux réguliers, ces valeurs dépendent fortement des valeurs qu’elle prend pour les cardinaux plus petits.

Voir aussi

• Aleph (nombre)
• Beth (nombre)
• Théorème de König

Références

• Modèle:Lien web
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage