Théorème de Birkhoff (relativité)

Modèle:Voir homonymes En relativité générale, le théorème de Birkhoff affirme que toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein doit être statique et asymptotiquement plate. C'est, en d'autres termes, un Modèle:Page h'Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn en vertu duquel toute solution à symétrie sphérique de l'équation d'Einstein dans le vide est localement isométrique à la solution de SchwarzschildModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

Énoncés

Modèle:Énoncé.

Une région extérieure au rayon de Schwarzschild est celle où la coordonnée Modèle:Formule est de genre temps et les coordonnées Modèle:Formule sont de genre espaceModèle:Sfn.

Histoire

La métrique de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide. Elle est à symétrie sphérique et dépend d'un paramètre Modèle:Formule correspondant à la masse. Elle peut s'exprimer dans un système de coordonnées d'espace-temps avec Modèle:Formule tel que l'aire des sphères Modèle:Incise soit Modèle:Formule. Dans ce système de coordonnées et pour Modèle:Formule, la métrique présente une singularité à Modèle:Formule. Dans la région Modèle:Formule, la métrique est statique et représente le champ gravitationnel en dehors d'un corps à symétrie sphérique, statique et dont l'aire correspond à Modèle:Formule. Le théorème répond à la question de savoir si la métrique reste applicable sans avoir à supposer que le corps soit statique.

L'éponyme du théorème de Birkhoff est le mathématicien américain George D. Birkhoff (1884-1944) qui l'a établi en 1923Modèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

À la suite des travaux d'Ernst SchmutzerModèle:Sfn et de Hubert GoennerModèle:Sfn, et de leur citation par Hans-Jürgen SchmidtModèle:Sfn puis Stanley Deser et Joel FranklinModèle:Sfn, il est désormais admis qu'il avait déjà été publié deux ans plus tôt par un physicien norvégien alors méconnu, Modèle:Lien. Depuis, il est souvent question du « théorème de Jebsen-Birkhoff » dans les publications scientifiques. D'après Deser et FranklinModèle:Sfn, le théorème a également été obtenu indépendamment par W. Alexandrow dès Modèle:Date-Modèle:Sfn et par J. Eisland deux ans plus tardModèle:Sfn.

Justification intuitive

L'idée du théorème de Birkhoff est qu'un champ gravitationnel de symétrie sphérique doit être généré par un objet massif à l'origine : s'il y avait une autre concentration de masse-énergie ailleurs, cela perturberait la symétrie sphérique, donc, on peut s'attendre à ce que la solution représente un objet isolé. Le champ devrait disparaître à grande distance de l'objet, ce qui correspond partiellement à une solution asymptotiquement plate. Ainsi, cette part du théorème correspond à ce que l'on attend du fait que la gravitation newtonienne est un cas limite de la relativité générale.

Conséquences

Le théorème montre qu'il est inutile de supposer que l'espace-temps est statique pour obtenir la métrique de Schwarzschild : supposer que l'espace-temps est à symétrie sphérique est nécessaire mais suffisant.

La conclusion que le champ extérieur doit être stationnaire est plus surprenante, et a une conséquence importante. Considérons une étoile sphérique de masse fixe soumise à des pulsations sphériques. Alors, le théorème de Birkhoff dit que sa géométrie extérieure doit obéir à la métrique de Schwarzschild : le seul effet de la pulsation est de changer la position de la surface stellaire.

À l'extérieur d'un système qui n'est pas statique mais dont l'évolution temporelle préserve la symétrique sphérique, l'espace-temps est celui dont la géométrie est décrite par la métrique de SchwarzschildModèle:Sfn.

Un système à symétrie sphérique n'émet pas d'ondes gravitationnellesModèle:Sfn.

À l'intérieur d'une couronne sphérique de poussière, l'espace-temps est platModèle:Sfn.

Une autre conséquence intéressante du théorème de Birkhoff est que pour une fine couche sphérique, la solution intérieure doit obéir à la métrique de Minkowski. En d'autres termes, le champ gravitationnel doit s'annuler à l'intérieur d'une couche sphérique. Ceci est en accord avec la gravitation newtonienne.

En vertu du théorème de de Birkhoff, une étoile statique doit avoir un rayon supérieur au rayon de Schwarzschild :

$R>\frac{2GM}{c^2}=R_{\mathrm{S}}$,

où :

• $R$ et $M$ son respectivement le rayon et la masse de l'étoile ;
• $c$ et $G$ sont respectivement la vitesse de la lumière dans le vide et la constante de la gravitation ;
• $R_{\mathrm{S}}$ est le rayon de Schwarzschild.

Généralisations

Le théorème de Birkhoff peut être généralisé : toute solution à symétrie sphérique des équations de champ d'Einstein-Maxwell doit être stationnaire et asymptotiquement plate, ce qui implique que la géométrie extérieure d'une étoile chargée sphérique doit correspondre à celle d'un trou noir de Reissner-Nordström.

Il n'existe pas de généralisation du théorème de Birkhoff pour le cas d'un espace-temps à symétrie axiale, notamment pour l'effondrement gravitationnel d'un corps en rotation. En particulier, la métrique de Kerr n'est pas la métrique extérieure au corps en rotation pendant son effondrement gravitationnel.

Voir aussi

Bibliographie

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Publications du théorème

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Découverte du théorème

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Exemples de démonstration du théorème

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Dictionnaires

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Communications et exposés

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Cours

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Thèses

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Articles connexes

• Théorème de Birkhoff (électromagnétisme)
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Liens externes

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