Théorème de Borel

Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion En mathématiques, le théorème de BorelModèle:,Modèle:,Modèle:,Modèle:,, ou lemme de Borel, est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Il a été démontré en 1884 par Giuseppe PeanoModèle:, et en 1895 par Émile Borel. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.

Énoncé simple

Pour toute suite $(a_n)$ de nombres complexes, il existe une fonction $f$ de classe $C^{\mathrm{\infty }}$, d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{f}^{(n)}(0)=a_n.$

Conséquence

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction $f$ associée à la suite $((n!{)}^2)$.

Énoncé général

Soit $U$ un ouvert de ${ℝ}^n$ et $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ à valeurs complexes sur $U$. Alors il existe une fonction $F=F(t,x)$ de classe $C^{\mathrm{\infty }}$ à valeurs complexes sur $ℝ\times U$, solution de l'équation aux dérivées partielles :

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in U\frac{{\partial }^{k}F}{\partial t^k}(0,x)=f_k(x).$

Il existe une preuve constructiviste de ce résultat.

Articles connexes

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