Théorème de Bruck-Ryser-Chowla

Le théorème de Bruck-Ryser-Chowla est un énoncé combinatoire concernant certains plans en blocs qui formule des conditions nécessaires pour leur existence.

Le théorème a été démontré en 1949 dans le cas particulier des plans projectifs par Richard H. Bruck et Herbert John Ryser et généralisé en 1950 aux plans en blocs par Ryser et Sarvadaman Chowla.

Version faible : théorème de Bruck-Ryser

Dans le cas des plans projectifs finis, on a $v=q^2+q+1,k=q+1,\lambda =1$, et le théorème se formule comme suit : Modèle:Théorème

Un plan projectif fini d'ordre $q$ est le cas particulier d'un plan en blocs symétrique avec les paramètres

$v=q^2+q+1,k=q+1,\lambda =1$.

Conséquences et exemples

• La condition arithmétique du théorème de Bruck-Ryser implique qu'il n'existe pas de plan d'ordre 6 ou 14, mais il n'exclut pas l'existence de plans d'ordre $10=2^4+2=3^2+1^2$ ni d'ordre $12\equiv 0mod4$. On a démontré par des calculs numériques intensifs qu'il n'existe pas de plan projectif d'ordre 10Modèle:, ; ceci illustre le fait que les conditions du théorème ne sont pas suffisantes pour assurer l'existence de plans en blocs.
• Les ordres $q=5=4+1,9=9+0,13=9+4$ satisfont les conditions pour l'existence de plans projectifs. Un autre argument qui assure leur existence est que ce sont des puissances de nombres premiers.
• Pour $q=27\equiv 3mod4$, le théorème ne dit rien. Comme 27 est une puissance d'un nombre premier, il existe un plan projectif de cet ordre.

Ordres exclus

Les nombres qui, par le théorème de Bruck et Ryser ne peuvent pas être les ordres d'un plan projectif, sont les entiers $n\in \mathbb{N}$ avec $n\equiv 1,2mod4$ qui ne sont pas somme de deux carrés. ils forment la Modèle:OEIS : 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, 54, 57, 62, 66, 69, 70, 77, 78, 86, 93, 94, 102, ...

Bibliographie

Articles

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Manuels

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• Modèle:Ouvrage — Traduit en français par Delphine Hachez : Introduction aux mathématiques discrètes, Springer-Verlag, 2004, Modèle:ISBN.
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Articles liés

• Plan en blocs
• Design combinatoire

Liens externes

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• Block design sur l'Encyclopædia of Mathematics