Théorème de Carnot (perpendiculaires concourantes)

Théorème de Carnot : si trois perpendiculaires aux côtés d'un triangle sont concourantes, alors les zones bleues et rouges ont la même aire totale.

En géométrie euclidienne, le théorème de Carnot (portant le nom de Lazare Carnot) donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites perpendiculaires aux côtés (étendus) d'un triangle soient concourantes. Ce théorème peut être considéré comme une généralisation du théorème de Pythagore.

Théorème

Dans un triangle $ABC$, on considère trois droites perpendiculaires en $P_a$, $P_b$, $P_c$ aux côtés $(BC)$, $(CA)$, $(AB)$ du triangle, respectivement.

Ces trois droites sont concourantes si et seulement si

$A{P}_c^2+B{P}_a^2+C{P}_b^2=B{P}_c^2+C{P}_a^2+A{P}_b^2$.

Démonstration du sens direct

Si le point de concours est Modèle:Mvar, on a d'après le théorème de Pythagore : $F{C}^2=F{P}_a^2+P_a{C}^2=F{P}_b^2+P_b{C}^2$, donc $F{P}_b^2-F{P}_a^2=C{P}_a^2-C{P}_b^2$ ; de même, $F{P}_c^2-F{P}_b^2=A{P}_b^2-A{P}_c^2$ et $F{P}_c^2-F{P}_a^2=B{P}_a^2-B{P}_c{C}^2$ ; la somme des trois égalités donne la relation de Carnot.

La réciproque est démontrée dans Modèle:Référence Harvard.

Cas particuliers

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, on peut prendre $P_a=C$, $P_b=A$ et $P_c=A$ ; alors $A{P}_b=0$, $A{P}_c=0$, $C{P}_a=0$, $C{P}_b=b$, $B{P}_a=a$ et $B{P}_c=c$. La relation du théorème de Carnot donne alors celle du théorème de Pythagore : $a^2+b^2=c^2$.

Un autre corollaire est que les médiatrices du triangle sont concourantes. En prenant pour pieds des perpendiculaires les milieux des côtés, on a $A{P}_c=B{P}_c$, $B{P}_a=C{P}_a$ et $C{P}_b=A{P}_b$, de sorte que la relation de Carnot ci-dessus est vérifiée.

Bibliographie

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Liens externes

• Théorème de Carnot sur Géométrie interactive
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