Théorème de Cayley

Modèle:Confusion En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire^[1] établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique : Modèle:Énoncé

Remarques

Si G est d'ordre n, le groupe SModèle:Ind dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.

Ce théorème est utilisé en théorie des représentations de groupes. Soient Modèle:Math un groupe et $(e_{g})_{g \in G}$ une base d'un espace vectoriel Modèle:Math de dimension [[Cardinal d'un ensemble||Modèle:Math|]]. Le théorème de Cayley indique que Modèle:Math est isomorphe à un groupe de permutations des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un [[Application linéaire|endomorphisme de Modèle:Math]] qui ici, par construction, est un [[Application linéaire|automorphisme de Modèle:Math]]. Cela définit une représentation du groupe : sa représentation régulière.
Il intervient aussi dans une démonstration du premier théorème de Sylow.

Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854^[2]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan^[3], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870^[4]Modèle:,^[5] : les permutations tModèle:Ind sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, tModèle:Ind est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.

↑ Sa preuve est très courte : Modèle:Note autre projet
↑ Modèle:Article.
↑ Par exemple dans Modèle:Ouvrage.
↑ Modèle:Ouvrage.
↑ Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de Modèle:Article.