Théorème de Chudnovsky

Modèle:Voir homonymes Le théorème de Chudnovsky, démontré par les frères Chudnovsky, est un théorème qui montre sous certaines conditions qu'une fonction continue est la limite uniforme de fonctions polynomiales à coefficients entiers. C'est un raffinement du théorème de Stone-Weierstrass.

Énoncé

Soit $f:I\to ℝ$ une fonction continue définie sur un segment $I=[a,b]$ ne contenant pas d'entiers. Alors il existe une suite $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de polynômes à coefficients entiers convergeant uniformément vers $f$ sur $I$.

Idée de la démonstration

Ramenons-nous au cas où $[a,b]\subseteq ]0,1[$. La première étape de la preuve consiste à montrer modestement que la fonction constante $x\in [a,b]\mapsto 1/2$ est limite uniforme de polynômes à coefficients entiers. On peut même expliciter cette suite $(P_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de polynômes par :

$P_0=X,P_{n+1}=2(1-P_n)P_n$.

Dans un deuxième temps, on élargit ce résultat à toutes les fonctions constantes : en effet, les applications continues de $[a,b]$ dans $ℝ$ muni de la norme uniforme forment une algèbre sur $ℝ$ que l'on note $𝒞$. L'ensemble des limites uniformes de polynômes à coefficients entiers $\overline{\mathbb{Z}[X]}$ est un fermé contenant toutes les fonctions constantes vers un nombre dyadique.

Mais les nombres dyadiques sont denses dans $ℝ$, donc $\overline{\mathbb{Z}[X]}$ contient toutes les fonctions constantes. Mais c'est aussi une algèbre qui contient $X$ et $ℝ$, elle contient donc $ℝ[X]$, et par fermeture $\overline{ℝ[X]}$. Or le théorème de Stone-Weierstrass nous assure que $\overline{ℝ[X]}=𝒞$.