Théorème de Engel

Le théorème de Engel porte sur la structure des algèbres de Lie. Sommairement, il affirme que les deux notions de nilpotence que l'on peut définir pour une algèbre de Lie coïncident.

Rappelons qu'une algèbre de Lie $𝔤$ est dite nilpotente si la suite définie par récurrence par $C_i$ par $C_0=𝔤$ et $C_{i+1}=[C_i,𝔤]$ finit par arriver à 0, autrement dit s'il existe un i tel que $C_i=\{0\}$.

Rappelons également qu'un endomorphisme A d'un espace vectoriel est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que AModèle:Exp = 0.

Si $x\in 𝔤$, on note Modèle:Math l'endomorphisme de $𝔤$ défini par Modèle:Math. On dit que Modèle:Math est ad-nilpotent si Modèle:Math est nilpotent. Il découle facilement de la définition que si $𝔤$ est une algèbre de Lie nilpotente, alors tout élément de $𝔤$ est ad-nilpotent.

Le théorème de Engel s'énonce alors comme suit :

Ce théorème découle en fait du résultat de trigonalisation suivant, que certains auteurs appellent également théorème de Engel :

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Lie
• Théorème de Lie-Kolchin
• Modèle:Lien

Bibliographie

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