Théorème de Krein-Milman

Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940, qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « théorème de Krein-Milman »).

Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe.

Notion de « point extrémal »

Les points extrémaux sont ceux représentés en rouge

Soit $C$ un convexe et $c$ un point de $C$. On dit que $c$ est un point extrémal de $C$ lorsque $C\setminus \{c\}$ est encore convexe. Cela équivaut à dire que, avec $c_1,c_2\in C$, l'égalité $c=\frac{c_1+c_2}{2}$ implique $c_1=c_2=c$.

Énoncé en dimension finie

La démonstration n'est pas très longue, l'outil essentiel étant le théorème d'existence d'un hyperplan d'appui en tout point de la frontière d'un convexe.

Généralisation en dimension infinie

Modèle:Théorème La « réciproque (partielle) de Milman » assure que cette représentation d'un convexe compact K comme enveloppe convexe-fermée d'une partie de K est, en un certain sens, optimale : l'adhérence d'une telle partie contient les points extrémaux de K.

Notes et références

Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of convex analysis, coll. « Grundlehren Text Editions », Springer, 2001 Modèle:ISBN, p. 41-42, 57 et 246