Théorème de Liouville (hamiltonien)

En physique, le théorème de Liouville, nommé d'après le mathématicien Joseph Liouville, est un théorème utilisé par le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi en mécanique quantique et en physique statistique. Ce théorème dit que le volume de l'espace des phases d'un système est constant le long des chemins que le système parcourt dans son espace, autrement dit ce volume reste constant dans le temps.

Équation de Liouville

L'équation de Liouville décrit l'évolution temporelle de la densité de probabilité $\rho$ dans l'espace des phases. Cette densité de probabilité est définie comme la probabilité pour que l'état du système soit représenté par un point à l'intérieur du volume $\mathrm{\Gamma }$ considéré.

En mécanique classique

On utilise les coordonnées généralisées $(q,p)$ où $N$ est la dimension du système. La densité de probabilité $\rho (p,q)$ est définie par la probabilité $\rho (p,q)d^{N}q{d}^{N}p$ de rencontrer l'état du système dans le volume infinitésimal $d^{N}q{d}^{N}p$.

Lorsqu'on calcule l'évolution temporelle de cette densité de probabilité $\rho (p,q)$, on obtient :

$\frac{d\rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^N[\frac{\partial \rho }{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial \rho }{\partial p_i}{\dot{p}}_i]=0$

On peut utiliser les équations canoniques de Hamilton en les remplaçant dans l'équation précédente :

${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i};{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$,

on obtient le résultat

$\frac{\partial }{\partial t}\rho (p,q,t)=-\{\rho (p,q,t),H\}=\{H,\rho (p,q,t)\}$,

où $\{,\}$ désigne les crochets de Poisson.

En mécanique quantique

D'après le principe de correspondance, on peut rapidement en déduire l'équation de Liouville en mécanique quantique :

$\frac{1}{i\hslash }[\hat{H},\hat{A}(t)]=\{\hat{H},\hat{A}\}+O({\hslash }^2)$

d'où on déduit :

$\frac{\partial }{\partial t}\hat{\rho }=\frac{i}{\hslash }[\hat{\rho },\hat{H}]$

Ici, $\hat{H}$ est l'opérateur hamiltonien et $\rho$ la matrice densité. Parfois cette équation est aussi nommée l'équation de Von Neumann.

Théorème de Liouville

De l'équation de Liouville plus haut, on déduit le théorème de Liouville, qui peut s'énoncer comme suit

ou encore sous la forme

Cela revient à dire que le volume V de l'espace des phases est invariant par rapport au temps : $\frac{dV}{dt}=0$

Voir aussi

• Mécanique hamiltonienne
• Espace des phases
• Hypothèse ergodique
• Matrice densité

Bibliographie

• Modèle:Cohen
• Modèle:Messiah