Théorème de Moivre-Laplace

Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tende vers la loi normale.

En théorie des probabilités, selon le théorème de Moivre-Laplace, si la variable $X_n$ suit une loi binomiale d'ordre $n$ et de paramètre $p\in ]0,1[$, alors la variable

$Z_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite $𝒩(0,1)$.

Abraham de Moivre fut le premier à établir ce théorème en 1733 dans le cas particulier : $p=\frac{1}{2}$ ; et Laplace a pu le généraliser en 1812 pour toute valeur de $p$ comprise entre 0 et 1. Il s'agit d'un cas particulier du théorème central limite.

Démonstration

La démonstration repose sur l'identification de la loi limite par l'étude des fonctions caractéristiques des variables binomiales.

Application

Autrement dit, si $X_n$ suit une loi binomiale de paramètres n et p et si $\mathrm{\Phi }$ est la fonction de répartition de $𝒩(0,1)$ alors, pour tout réel t, on a :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}(\frac{X_n-np}{\sqrt{npq}}\le t)=\mathrm{\Phi }(t)$

ce qui signifie que, pour n assez grand,

$\mathrm{P}(\frac{X_n-np}{\sqrt{npq}}\le t)\approx \mathrm{\Phi }(t)$

ce qui donne, en posant $t=\frac{x-np}{\sqrt{npq}}$, l'approximation suivante pour la probabilité d'avoir au plus $x$ succès :

$\mathrm{P}(X_n\le x)\approx \mathrm{\Phi }\left(\frac{x-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

Cette approximation est bonne en général pour $np(1-p)\ge 10$.

Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables $X_n$ sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale $X_n\sim ℬ(n,p)$ sont proches de la courbe de densité de la loi normale $𝒩(np,npq)$. On peut obtenir une valeur approchée de $\mathrm{P}(X_n=x)$ par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse $x-\frac{1}{2}$ et $x+\frac{1}{2}$.

$\mathrm{P}(X_n=x)\approx \mathrm{P}(\frac{x-\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}}\le N\le \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}})$ $\mathrm{P}(X_n\le x)\approx \mathrm{P}(N\le \frac{x+\frac{1}{2}-np}{\sqrt{npq}})$

On appelle cette procédure la « correction de continuité ».

Exemple

On considère la suite de variables $X_n\sim ℬ(50,0,3)$ ; on a alors $np=15$ ; $nq=35$

D'après les tables, la valeur exacte pour $\mathrm{P}(X_n=10)=0,038619$.

La formule d'approximation avec une loi $𝒩(np,\sqrt{npq})=𝒩(15,\sqrt{10,5})$ donne le résultat :

$\mathrm{P}(\frac{9,5-15}{\sqrt{10,5}}\le N\le \frac{10,5-15}{\sqrt{10,5}})$

soit

$\mathrm{P}(-1,7\le N\le -1,39)=\mathrm{P}(1,39\le N\le 1,7)=0,9554-0,9177=0,0377$

L'erreur d'approximation est faible.

Pour $\mathrm{P}(X_n\le 10)=0,0789$, l'approximation usuelle fournit

$\mathrm{P}(N\le -1,39)=\mathrm{P}(N\ge 1,39)=1-\mathrm{P}(N\le 1,39)=0,0823$

Sans correction de la continuité de l'approximation, on aurait :

$\mathrm{P}(N\le \frac{10-15}{\sqrt{10,5}})=\mathrm{P}(N\le -1,54)=1-\mathrm{P}(N\le 1,54)=0,0618$

Cette dernière valeur est assez imprécise.

Voir aussi

Bibliographie

• Denis Lantier, Didier Trotoux, « La Loi des grands nombres : le théorème de De Moivre-Laplace », dans Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques : actes de la Modèle:6e d'été interdisciplinaire sur l'histoire des mathématiques, Besançon, Presses universitaires de Franche-Comté/université de Franche-Comté, Modèle:Coll., 1995, 490Modèle:Nb p. Modèle:ISBN, Modèle:P. Modèle:Lire en ligne Modèle:Pdf.

Articles connexes

• Convergence de variables aléatoires
• Théorème central limite
• Planche de Galton