Théorème de Nagel

Il existe plusieurs théorèmes de Nagel, tous liés à la géométrie du triangle.

Théorème I

Soit ABC un triangle. Soit H son orthocentre et soit O le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Si l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu alors il a la même bissectrice que l'angle $\widehat{HAO}$.

Démonstration

Le triangle ABC n'a aucun angle obtus

Théorème de Nagel dans un triangle acutangle.

Le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H sont alors intérieurs au triangle ABC.

Soit Modèle:Mvar l'angle $\widehat{ABC}$, qui est inscrit dans le cercle circonscrit (voir Figure A). $\widehat{COA}$ est l'angle au centre correspondant de valeur Modèle:Math. Le triangle AOC est isocèle car OA et OC sont des rayons du cercle circonscrit. Les angles $\widehat{OAC}$ et $\widehat{ACO}$ sont égaux entre eux et à Modèle:Math.

Soit I le pied de la hauteur issue de A. Le triangle ABI est rectangle et l'angle $\widehat{BAI}$ vaut Modèle:Math.

La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ est donc aussi la bissectrice de l'angle $\widehat{IAO}$ qui est aussi l'angle $\widehat{HAO}$, puisque l'orthocentre H est intérieur au segment AI. On notera que l'angle $\widehat{HAO}$ est nul lorsque les angles des sommets B et C du triangle ABC sont identiques, ce qui se produit si le triangle est équilatéral ou isocèle en A.

Le triangle ABC est rectangle

Le centre du cercle circonscrit O est le point milieu de l'hypoténuse, l'orthocentre H est le sommet de l'angle droit.

L'angle $\widehat{HAO}$ n'est pas défini si A est le sommet de l'angle droit et le théorème de Nagel ne s'applique pas à ce sommet.

Pour un autre sommet, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{HAO}$ sont identiques puisque AH et AO sont les deux côtés du triangle qui joignent A. Ils ont donc la même bissectrice.

Le triangle ABC a un angle obtus

Théorème de Nagel dans un triangle obtusangle, Modèle:1er cas

Théorème de Nagel dans un triangle obtusangle, Modèle:2e cas

Le centre du cercle circonscrit O et l'orthocentre H sont alors tous deux extérieurs au triangle ABC.

Si A est un des deux sommets d'angle aigu (voir Figure B), la démonstration est similaire au cas du triangle sans angle obtus. La hauteur AI et le rayon AO sont ici des segments extérieurs au triangle. L'angle $\widehat{IAO}$ et l'angle $\widehat{HAO}$ sont identiques car l'orthocentre H est extérieur à la hauteur AI du côté du pied la hauteur.

Si l'angle en A est l'angle obtus (Voir Figure C) alors, toujours avec le même raisonnement, les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{IAO}$ ont la même bissectrice. Toutefois, comme l'orthocentre H est ici extérieur au triangle mais du côté du sommet de la hauteur, la bissectrice de l'angle $\widehat{HAO}$ est la droite (D) qui forme un angle de Modèle:Math avec la bissectrice de l'angle $\widehat{IAO}$ et le théorème de Nagel ne s'applique pas.

Conclusion

Sauf lorsque l'angle du sommet A considéré est droit, si l'on substitue l'orthocentre H par I le pied de la hauteur issue de A, alors les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{OAI}$ ont toujours la même bissectrice. Modèle:Clr

Théorème Modèle:III

Les rayons du cercle circonscrit à un triangle passant par ses sommets sont orthogonaux aux côtés de son triangle orthique.

Housel énonce le théorème ainsi : Modèle:Citation bloc

On peut le traduire ainsi : dans un triangle, les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons du cercle circonscrit passant par les sommets. Modèle:Clr

Autres théorèmes de Nagel

Dans une note publiée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques en 1860, Camille-Christophe Gerono et Olry Terquem citent cinq théorèmes établis par von Nagel datant de 1836, liés aux cercles inscrit et exinscrits d'un triangle.

Ce théorème établit l'existence du point de Nagel Modèle:Mvar d'un triangle, son appartenance à la droite passant par le centre du cercle inscrit Modèle:Mvar et le centre de gravité Modèle:Mvar tel que Modèle:Math.

Ce théorème établit l'existence du mittenpunkt Modèle:Mvar d'un triangle, son appartenance à la droite passant par le point de Gergonne (noté couramment Modèle:Mvar mais que von Nagel note I) et son centre de gravité Modèle:Mvar et sont tels que Modèle:Math.

Ce théorème établit l'existence du point de Bevan Modèle:Mvar d'un triangle, son appartenance à la droite passant par le centre du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit Modèle:Mvar et sont tels que Modèle:Math. Modèle:Clr

Dans un langage plus moderne : on construit les points de Gergonne associés aux cercles exinscrits Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, respectivement associés aux cercles exinscrits à Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, de centres respectivement Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar. On note Modèle:Mvar, le point d'intersection de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar. Alors les points Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et le centre de gravité du triangle Modèle:Mvar sont alignés et tels que Modèle:Math. On construit de façon similaire les points Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, qui ont des propriétés similaires.

Ce cinquième résultat présente les débuts de la théorie de l'extraversion en considérant les points adjoints de Gergonne et de Nagel.

Article connexe

• Point de Nagel
• Centre du triangle