Théorème de Pythagore inversé

Visualisation.

Le théorème de Pythagore inversé concerne la hauteur DC d'un triangle ABC rectangle en C. Il spécifie que :

$\frac{1}{C{D}^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{B{C}^2}.$

Il ne doit pas être confondu avec la réciproque du théorème de Pythagore, qui dit que pour un triangle ABC, si $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2$, alors ABC est rectangle en C.

Démonstration

Le théorème se démontre en remarquant d'abord que l'aire S du triangle ABC peut être exprimée de deux façons :

$S=\frac{AB\times CD}{2}$ et $S=\frac{AC\times BC}{2}$ On a donc :

$AB\times CD=AC\times BC$

D'où $A{B}^2\times C{D}^2=A{C}^2\times B{C}^2$

$C{D}^2=\frac{(AC\times BC{)}^2}{A{B}^2}$

En utilisant le théorème de Pythagore :

$C{D}^2=\frac{(AC\times BC{)}^2}{A{C}^2+B{C}^2}$

d'où :

$\frac{1}{C{D}^2}=\frac{A{C}^2+B{C}^2}{(AC\times BC{)}^2}=\frac{A{C}^2}{(AC\times BC{)}^2}+\frac{B{C}^2}{(AC\times BC{)}^2}=\frac{1}{B{C}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$, cqfd.