Théorème de Wolstenholme

Modèle:Ébauche

Le théorème de Wolstenholme est un résultat arithmétique sur les coefficients binomiaux, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme. Il énonce que pour tout nombre premier $p ⩾ 5$ , on a : Modèle:Centrer

Par exemple pour $p = 7$ , $(\binom{13}{6}) = 1716 = 1 + 7^{3} \times 5 \equiv 1 (\mod 7^{3})$ .

La congruence analogue modulo $p^{2}$ avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.

La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il montre d'abord que si $\sum_{k = 1}^{p - 1} \frac{1}{k}$ (respectivement $\sum_{k = 1}^{p - 1} \frac{1}{k^{2}}$ ) est écrit sous forme d'une fraction d'entiers, alors le numérateur de cette fraction est divisible par $p^{2}$ (resp. $p$ ). Il déduit enfin son théorème de ces deux résultats. Ceux-ci sont parfois aussi intégrés dans le théorème.

Problème réciproque

Comme pour le théorème de Wilson : $(n - 1)! \equiv - 1 (\mod n)$ , qui constitue une condition nécessaire et suffisante pour que $n ⩾ 2$ soit premier, on conjecture que $(\binom{2 n - 1}{n - 1}) \equiv 1 (\mod n^{3})$ constitue une condition nécessaire et suffisante pour que $n ⩾ 5$ soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à $n = 1 0^{11}$ ^[1], mais cette conjecture n'est pas prouvée ^[2].

Voir aussi

Le théorème de Lucas qui donne $(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv (\binom{1}{0}) (\binom{p - 1}{p - 1}) = 1 (\mod p)$ .
Les nombres premiers de Wieferich, vérifiant $2^{p - 1} \equiv 1 (\mod p^{2})$ .

Notes et références

Modèle:Références

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[1] Modèle:Article

[2] Modèle:Article

[1]

[2]

Théorème de Wolstenholme

Problème réciproque

Voir aussi

Notes et références

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