Théorème de Zsigmondy

En théorie des nombres, le théorème de Zsigmondy, portant le nom de Karl Zsigmondy, énonce que si a > b > 0 sont des entiers premiers entre eux, alors pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre premier p (appelé diviseur premier primitif) qui divise Modèle:Nobr et ne divise pas Modèle:Nobr pour Modèle:Nobr, avec les exceptions suivantes :

• Modèle:Nobr, Modèle:Nobr ; dans ce cas Modèle:Nobr = 1 n'a pas de diviseurs premiers ;
• Modèle:Nobr, et Modèle:Nobr une puissance de deux ; dans ce cas n'importe quel facteur premier impair de Modèle:Nobr doit être contenu dans Modèle:Nobr, qui est aussi pair ;
• Modèle:Nobr, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr ; alors, Modèle:Nobr = 63 = 3²×7 = Modèle:Nobr

Cela généralise un théorème de Bang, qui énonce que si Modèle:Nobr et n différent de 6, alors Modèle:Nobr a un diviseur premier qui ne divise Modèle:Nobr pour aucun Modèle:Nobr.

De même, Modèle:Nobr a au moins un diviseur premier primitif, à l'exception de Modèle:Nobr.

Histoire

Le théorème a été découvert par Zsigmondy, qui travaillait à Vienne de 1894 à 1925.

Généralisations

Soit $(a_n{)}_{n\ge 1}$une suite d'entiers non nuls. L'ensemble de Zsigmondy associé à la suite est l'ensemble

$𝒵(a_n)=\{n\ge 1\mid a_n\text{ n'a pas de diviseur premier primitif}\}$,

c'est-à-dire l'ensemble des indices $n$ tels que tout nombre premier divisant $a_n$ divise aussi $a_m$ pour un certain $m<n$. Ainsi, le théorème de Zsigmondy implique que $𝒵(a^n-b^n)\subset \{1,2,6\}$, et le théorème de Carmichael énonce que l'ensemble de Zsigmondy de la suite de Fibonacci est $\{1,2,6,12\}$, et celui de la suite de  Pell est $\{1\}$. En 2001, Bilu, Hanrot et Voutier ont prouvé qu'en général, si $(a_n{)}_{n\ge 1}$ est une suite de Lucas ou une Modèle:Lien, alors $𝒵(a_n)\subset [1,30]$.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article
• Modèle:Article
• Modèle:Article
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