Théorème de comparaison de Sturm-Picone
En mathématiques, dans le domaine des équations différentielles ordinaires, le théorème de comparaison de Sturm-Picone, du nom de Charles Sturm et Mauro Picone, est un théorème classique qui permet de comparer les solutions de deux équations différentielles voisines. Plus précisément, il fournit des critères d'Modèle:Lien et de non-oscillation des solutions de certaines équations différentielles linéaires sur les réels.
Soient Modèle:Mvar, Modèle:Mvar pour Modèle:Formule des fonctions continues à valeurs réelles sur un segment Modèle:Formule et soient deux équations différentielles homogènes linéaires du second ordre sous forme auto-adjointe :
- ,
- .
On suppose que pour tout Modèle:Mvar,
et
Soit Modèle:Mvar une solution non triviale de (1), soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar des zéros successifs de Modèle:Mvar et soit Modèle:Mvar une solution non triviale de (2). Alors l’une des propriétés suivantes est vérifiée :
- Il existe Modèle:Mvar dans Modèle:Formule tel que Modèle:Formule ;
- ou il existe un Modèle:Mvar réel tel que Modèle:Formule pour tout Modèle:Mvar.
La première partie de la conclusion est due à Sturm (1836)[1] tandis que la deuxième partie (alternative) du théorème est due à Picone en 1910[2]Modèle:,[3], dont la preuve beaucoup plus simple dérive de sa désormais célèbre identité de Picone. Dans le cas particulier où les deux équations sont identiques, on obtient le Modèle:Lien[4].
Articles connexes
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Bibliographie
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Chapitre.
- ↑ Pour une généralisation de cet important théorème à un théorème de comparaison impliquant trois équations du second ordre ou plus,voir le Modèle:Lien, dont une preuve simple résulte de l'Modèle:Lien.