Théorème de sélection de Michael
En mathématiques, le théorème de sélection de Michael, est un théorème d'analyse fonctionnelle démontré en 1956 par Modèle:Lien[1]Modèle:,[2]. Il s'énonce comme suit :
Michael a aussi démontré la réciproque, si bien que cette propriété caractérise les espaces paracompacts (parmi les espaces séparés).
Démonstration
Soit d la distance associée à la norme sur E. On construit par récurrence une suite de fonctions continues fModèle:Ind vérifiant, pour tout entier naturel n et tout x dans X : d(fModèle:Ind(x), Γ(x)) < 2Modèle:Exp et Modèle:Nobr Le lemme ci-dessous permet en effet de construire une fonction fModèle:Ind à distance constamment < 1 de φModèle:Ind := Γ puis, pour tout n > 0, une fonction fModèle:Ind à distance constamment < 2Modèle:Exp de φModèle:Ind := Γ∩[[Boule (topologie)|B(fModèle:Ind, 2Modèle:Exp)]]. La limite uniforme des fModèle:Ind constitue alors une sélection continue pour Γ.
Ce lemme est un cas particulier du théorème suivant.
Théorème de sélection de Browder
Théorème de Bartle-Graves
Un corollaire du théorème de sélection de Michael est le théorème de Bartle-Graves[3] : Modèle:Théorème
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
Modèle:En Heikki Junnila, A Second Course in General Topology, 2007-8/2014, chap. III, § 3 : Partitions of unity et § 4 : Continuous selections
Bibliographie
- Modèle:En Jean-Pierre Aubin et Arrigo Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss., vol. 264, Springer, 1984
- Modèle:En Jean-Pierre Aubin et Hélène Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, 1990 Modèle:Lire en ligne
- Modèle:En Klaus Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992 Modèle:Lire en ligne
- Modèle:En Shouchuan Hu et Nikolas S. Papageorgiou, Handbook of Multivalued Analysis, vol. I, Springer, 1997
- Modèle:En Dušan Repovš et Pavel V. Semenov, Continuous Selections of Multivalued Mappings, Kluwer, 1998 Modèle:Lire en ligne
- Modèle:Article, Modèle:Arxiv2