Théorème de von Staudt-Clausen

En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.

Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute Modèle:Frac à BModèle:Ind pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier :

$B_{2k}+\sum _{(p-1)|2k}\frac{1}{p}\in \mathbb{Z}.$

La propriété est également vérifiée pour n = 1 : BModèle:Ind + Modèle:Frac = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient Modèle:Frac.)

Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair BModèle:Ind (k ≥ 1) s'écrivent :

$B_{2k}=A_{2k}-\sum _{(p-1)|2k}\frac{1}{p}$

où AModèle:Ind est un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli BModèle:Ind non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.

Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt et Thomas Clausen, qui l'ont découvert indépendamment en 1840.

Bibliographie

• Modèle:Lien et I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1966, p. 431-433
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Fonctions d'une variable réelle, nouvelle édition, 1971, VI, p. 24
• G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres Modèle:Détail des éditions, théorème 118