Théorème des six exponentielles

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Implications logiques entre divers théorèmes et conjectures de cette famille. Les cases en vert correspondent aux théorèmes démontrés, celles en rouges à des conjectures.

En mathématiques, et plus spécialement dans la théorie des nombres transcendants, le théorème des six exponentielles, publié par Serge Lang et Kanakanahalli Ramachandra dans les années 1960, garantit, sous certaines conditions, l'existence d'au moins un nombre transcendant parmi six nombres écrits sous forme exponentielle.

Ce théorème permet donc de prouver la transcendance d'un nombre, en mettant en évidence qu'il fait partie de six nombres vérifiant les hypothèses du théorème, dès lors que les cinq autres sont algébriques.

Il existe de nombreuses variantes de ce théorème, dont certaines sont encore des conjectures. Le diagramme ci-contre montre les implications logiques entre tous ces résultats ou conjectures.

Énoncé

On note ℚ le corps des rationnels et L le ℚ-espace vectoriel des « logarithmes de nombres algébriques », c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes dont l'exponentielle est un nombre algébrique. Le théorème des six exponentielles dit que si, dans une matrice 3×2 à coefficients dans L, chaque ligne et chaque colonne est ℚ-libre (ou, ce qui revient au même : ℤ-libre), alors cette matrice est de rang 2 sur ℚ :

Historique

Le théorème des six exponentielles n'a été officiellement formulé et démontré que dans les années 1960, indépendamment, par Lang et Ramachandra. Cependant, Lang admet Modèle:Citation. En effet, dans un article de 1944, Leonidas Alaoglu et Paul Erdős s'appuient sur une communication privée de Siegel à ce sujet pour démontrer que le rapport de deux nombres colossalement abondants consécutifs est toujours soit premier, soit semi-premier ; plus précisément, ils utilisent le cas particulier suivant du théorème : si Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont trois nombres premiers distincts et Modèle:Math un réel alors Modèle:Citation. Par exemple si Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math sont simultanément rationnels (donc algébriques) alors, puisque Modèle:Math est libre, Modèle:Math est lié, c'est-à-dire que Modèle:Math est rationnel (donc entier, puisque Modèle:Math est rationnel).

Théorème des cinq exponentielles

Un théorème similaire mais plus fort est le suivant : Modèle:Théorème

Il est à son tour impliqué par la conjecture des quatre exponentielles, toujours ouverte, qui prévoit que Modèle:Théorème Autrement dit : le même résultat que le théorème des six exponentielles mais pour une matrice 2×2.

Théorème pointu des six exponentielles

Un autre théorème, qui implique celui des cinq exponentielles, est le suivant :

Le théorème des cinq exponentielles s'ensuit en posant Modèle:Math pour chaque Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math, et en appliquant le théorème de Baker à Modèle:Math.

Il y a également une version pointue du théorème des cinq exponentielles. C'est la conjecture suivante, qui impliquerait le théorème pointu des six exponentielles :

Une conséquence de cette conjecture serait la transcendance — pas encore démontrée — de Modèle:Math, en posant Modèle:Math, Modèle:Math, et Modèle:Math.

Théorème fort des six exponentielles

Les théorèmes et conjectures dans ce domaine existent également dans leurs versions fortes.

On note ici L* l'espace vectoriel engendré, sur le [[Nombre algébrique#Le corps des nombres algébriques|corps Modèle:Surligner des nombres algébriques]], par 1 et l'ensemble L des « logarithmes de nombres algébriques ». Le théorème suivant, démontré par Damien Roy, implique le théorème pointu des six exponentielles :

Autrement dit : si, dans une matrice 2×3 à coefficients dans L*, chaque ligne et chaque colonne est Modèle:Surligner-libre, alors cette matrice est de rang 2 sur Modèle:Surligner.

La conjecture suivante, formulée par Michel Waldschmidt, impliquerait à la fois le théorème fort des six exponentielles et la conjecture pointue des cinq exponentielles : Modèle:Théorème

La conjecture suivante, qui étend le théorème de Baker, impliquerait toutes les conjectures et tous les théorèmes ci-dessus : Modèle:Théorème

Généralisation aux variétés de groupes commutatifs

La fonction exponentielle Modèle:Math uniformise la fonction exponentielle sur le groupe multiplicatif Modèle:Mvar. Par conséquent, on peut reformuler le théorème des six exponentielles de façon plus abstraite comme suit :

L'énoncé du théorème des six exponentielles peut ainsi être généralisé à une variété arbitraire de groupes commutatifs Modèle:Mvar sur le corps des nombres algébriques.

On peut aussi prendre $G=G_m\times G_m\times G_m$ et remplacer « plus de deux éléments » par « plus d'un élément » ; on obtient ainsi une autre variante de la généralisation. Cependant cette « conjecture généralisée des six exponentielles » semble encore hors d'atteinte dans l'état actuel de la théorie des nombres transcendants.

Dans les cas particuliers, mais intéressants, où $G=G_m\times E$ et $G=E\times E^{\prime }$ , et où $E,E^{\prime }$ sont des courbes elliptiques sur le corps des nombres algébriques, des résultats en direction de la conjecture des six exponentielles généralisées ont été prouvés par Aleksander Momot. Ces résultats impliquent la fonction exponentielle Modèle:Math et une fonction de Weierstrass $\mathrm{\wp }$ resp. deux fonctions de Weierstrass $\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime }$ avec des invariants algébriques $g_2,g_3,{g_2}^{\prime },{g_3}^{\prime }$, au lieu des deux fonctions exponentielles Modèle:Math dans l'énoncé classique.

Soit $G=G_m\times E$ et supposons que $E$ n'est pas Modèle:Lien à une courbe sur un corps réel et que Modèle:Math n'est pas un sous-groupe algébrique de Modèle:Math. Alors Modèle:Mvar est engendré sur $\mathbb{Q}$ soit par deux éléments $x_1,x_2$, soit par trois éléments $x_1,x_2,x_3$ qui ne sont pas tous contenus dans une droite réelle $ℝ(c)$, où $c$ est un nombre complexe non nul. Un résultat similaire existe pour $G=E\times E^{\prime }$ Modèle:Math.

Articles connexes

• Algèbre des périodes
• Modèle:Lien