Théorème du sandwich au jambon

Le théorème du sandwich au jambon affirme l'existence d'un plan qui coupe chacun des trois solides en deux parties de volumes égaux.

En mathématiques, le théorème du sandwich au jambon, ou théorème de Stone-Tukey, s'exprime, de façon imagée, comme la possibilité de couper en quantités égales, d'un seul coup de couteau, le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich. Il se formalise et se généralise en dimension quelconque.

Énoncé

Étant donné n parties Lebesgue-mesurables et de mesures finies d'un espace euclidien de dimension n, il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales.

Historique

Le théorème est parfois appelé théorème de Stone-Tukey, d'après Arthur Stone et John Tukey. Hugo Steinhaus avait conjecturé ce théorème dans le Livre écossais. Il a été aussitôt démontré en 1938 par Stefan Banach à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam.

Démonstration

Soient $A_1,\dots ,A_n$ les n parties de ${ℝ}^n$, de mesures finies $V_1,\dots ,V_n$, que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure (en dimension n = 3, la figure illustre la preuve avec, pour $A_1,A_2,A_3$, des solides de Platon en orange et rouge, la solution est ici le plan défini par les trois centres).

Ayant fixé un vecteur $x$ de la sphère $S^{n-1}$, on considère, pour tout réel $t$, l'hyperplan affine orthogonal à $x$ passant par $tx$, et le demi-espace délimité par cet hyperplan et contenant $(t+1)x$. Le volume $V_i(t,x)$ de l'intersection de $A_i$ et de ce demi-espace est une fonction continue de $(t,x)$ et vérifie :

$V_i(-t,-x)=V_i-V_i(t,x).$

Comme de plus $t\mapsto V_1(t,x)$ est une fonction décroissante de $t$, qui tend vers 0 quand $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ et vers $V_1$ quand $t$ tend vers $-\mathrm{\infty }$, l'ensemble des réels $t$ tels que $V_1(t,x)=V_1/2$ est un segment non vide $[t^{\prime }(x),t^{″}(x)]$ qui vérifie $[t^{\prime }(-x),t^{″}(-x)]=[-t^{″}(x),-t^{\prime }(x)]$. Son milieu $t(x)=\frac{t^{\prime }(x)+t^{″}(x)}{2}$ est donc une fonction continue impaire de $x$ vérifiant $V_1(t(x),x)=V_1/2$ pour toute direction $x$.

Par composition, la fonction

$f:S^{n-1}\to {ℝ}^{n-1},x\mapsto (V_2(t(x),x),\dots ,V_n(t(x),x))$

est également continue. On peut donc lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam, ce qui fournit une direction $x$ telle que $f(x)=f(-x)$. Pour un tel $x$, l'hyperplan orthogonal à $x$ et passant par $t(x)x$ coupe les $A_i$ pour $i=2,\dots ,n$ en deux morceaux de même mesure car

$V_i(t(x),x)=V_i(t(-x),-x)=V_i(-t(x),-x)=V_i-V_i(t(x),x).$

Ainsi, $V_i(t(x),x)=V_i/2$ est vrai pour $i=2,\dots ,n$ par choix de $x$ et pour $i=1$ par définition de $t(x)$.

Lien externe

Modèle:En Ham sandwich theorem and a proof, sur PlanetMath