Théorèmes A et B de Cartan
En mathématiques, les théorèmes A et B de Cartan sont deux résultats de Henri Cartan démontrés vers 1951, concernant un Modèle:Lien Modèle:Mvar sur une variété de Stein Modèle:Mvar . Ils sont significatifs à la fois lorsqu'ils sont appliqués aux fonctions de plusieurs variables complexes et dans le développement général de la cohomologie des faisceaux.
Le théorème B est énoncé en termes cohomologiques (une formulation que Cartan (1953, p. 51) attribue à J.-P. Serre):
Des propriétés analogues ont été établies par Serre (1957) pour les faisceaux cohérents en géométrie algébrique, lorsque Modèle:Mvar est un schéma affine. L'analogue du théorème B dans ce contexte est le suivant Modèle:Référence Harvard :
Ces théorèmes ont de nombreuses applications. Par exemple, ils impliquent qu'une fonction holomorphe sur une sous-variété complexe fermée Modèle:Mvar, d'une variété Stein Modèle:Mvar peut être étendue à une fonction holomorphe sur Modèle:Mvar. Ces théorèmes ont été utilisés par Jean-Pierre Serre pour prouver le théorème GAGA.
Le théorème B est optimal dans le sens où si pour tous faisceaux cohérents Modèle:Mvar et Modèle:Math sur une variété complexe Modèle:Mvar (resp. faisceaux quasi-cohérents Modèle:Mvar sur un schéma noéthérien Modèle:Mvar ), alors Modèle:Mvar est Stein (resp. affine); voir Modèle:Référence Harvard (resp. Modèle:Référence Harvard et Modèle:Référence Harvard).