Théorie de Kirchhoff

La théorie de Kirchhoff est une théorie de la diffraction qui permet, à l'aide du théorème de Green, de donner une formulation mathématique au principe de Huygens-Fresnel et de modéliser la propagation d'une onde à travers des ouvertures diffractantes. Elle a été introduite par le physicien Gustav Kirchhoff (1824-1887).

Théorème intégral de Kirchhoff

Quelle que soit la nature de l'onde, pour une perturbation sinusoïdale (harmonique ou monochromatique selon le domaine) représentée par le champ $U$ qui est solution de l'équation d'onde, le théorème intégral de Kirchhoff permet d'exprimer la valeur du champ $U(M)$ en un point $M$ en fonction du champ $U$ et de son gradient $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}U$ sur une surface incluant le point $M$ :

$U(M)=\frac{1}{4\pi }\int \subset \supset \underset{S}{\int }(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kr}}{r}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}U-U\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kr}}{r}\right))\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}$.

Formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff

Notations utilisées.

La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point $M$ causée par une source ponctuelle en un point $S$ émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soit négligeable devant les distances de propagation :

$U(M)=-\frac{i{u}_0}{\lambda }\int \subset \supset \underset{S}{\int }K(\theta )\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(r+s)}}{rs}\mathrm{d}S$,

avec $K(\theta )=\frac{1}{2}(\cos (\overrightarrow{\mathrm{d}S},\overrightarrow{e_r})-\cos (\overrightarrow{\mathrm{d}S},\overrightarrow{e_s}))$ nommé facteur d'oblicité ou facteur d'inclinaison.Modèle:Démonstration

Cas d'une ouverture diffractante

Notations utilisées.

On effectue l'intégration sur les surfaces :

• $A_1$ la calotte sphérique du faisceau qui pénètre par l'ouverture ; le champ scalaire y est identique en tout point, $\overrightarrow{\mathrm{d}S}$ et $\overrightarrow{e_s}$ y sont de même direction et de sens opposé ;
• $A_2$ sur les bords du faisceau, mais on considère son influence négligeable dès lors que la taille de l'ouverture est petite devant le rayon du front d'onde ;
• $A_3$ la partie non éclairée de l'obstacle ; le champ y est considéré nul ;
• $A_4$ une demi sphère de rayon tendant vers l'infini de sorte de le champ y soit nul (à la seule condition que son amplitude décroisse avec la distance).

Si $\theta =(\overrightarrow{\mathrm{d}S},\overrightarrow{e_r})$ alors le facteur d'oblicité sur $A_1$, seule surface qui intervient dans le calcul, est :

$K(\theta )=\frac{1}{2}(\cos \theta +1)$.

Ce facteur indique que la diffraction se fait préférentiellement dans les sens de la propagation, tout particulièrement il montre le non-retour de l'onde lors de la diffraction

$K(\pi )=0$

.

Si l'onde incidente $U_1=\frac{u_0}{s}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}ks}$ est considérée identique sur toute la surface l'ouverture, caractérisée par son coefficient de transmission $t$, alors :

$U(M)=-\frac{i}{\lambda }{U}_1\int \underset{A_1}{\int }K(\theta )t\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kr}}{r}\mathrm{d}S$.

Dans le cas de l'étude de la diffraction en champ lointain (diffraction de Fraunhofer), l'angle $\theta$ est constant sur $A_1$, le facteur d'oblicité est donc constant et peut être sorti de l'intégrale. En posant $K^{\prime }=-\frac{i}{\lambda }{U}_{1}K(\theta )$, on peut écrire :

$U(M)=K^{\prime }\int \underset{A_1}{\int }t\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kr}}{r}\mathrm{d}S$.

Annexes

Bibliographie

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Articles connexes

• Principe de Huygens-Fresnel
• Théorie de la diffraction

Liens externes

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