Théorie de Picard-Lefschetz

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, la théorie de Picard-Lefschetz est un ensemble de techniques permettant d’étudier la topologie des variétés complexes à l'aide des points critiques de fonctions holomorphes définies sur la variété. Elle fut construite en 1897 par Émile Picard pour les surfaces (les variétés de dimension 2), et étendue aux dimensions supérieures par Solomon Lefschetz en 1924. C'est un analogue complexe de la théorie de Morse, laquelle utilise les mêmes techniques pour étudier les variétés réelles. Pierre Deligne et Nicholas Katz ont encore étendu la théorie à des variétés sur des corps quelconques, et Deligne a utilisé cette généralisation dans sa preuve des conjectures de Weil en 1974.

La formule de Picard-Lefschetz

La formule de Picard-Lefschetz décrit la monodromie autour d'un point critique.

Soit f une fonction holomorphe définie sur une variété projective complexe de dimension (k+1) et à valeurs dans la droite projective P¹. On suppose que tous ses points critiques, d'images x₁,...,x_n dans P¹, sont non dégénérés et sont dans des fibres distinctes. Si x est un point de P¹ distinct des x_i, le groupe fondamental π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) est engendré par des lacets w_i autour des points x_i, et pour chaque point x_i il y a un cycle évanouissant dans le groupe d'homologie H_k(Y_x) de la fibre en x (il s'agit du groupe médian, puisque la fibre est de dimension complexe k, donc de dimension réelle 2k). L'action de la monodromie de π₁(P¹ – {x₁, ..., x_n}, x) sur H_k(Y_x) est alors décrite par la formule de Picard–Lefschetz (les actions sur les autres groupes d'homologie sont triviales) ; plus précisément, l'action d'un générateur w_i du groupe fondamental sur $\gamma$ ∈ H_k(Y_x) est donnée par

$w_i(\gamma )=\gamma +(-1{)}^{(k+1)(k+2)/2}⟨\gamma ,{\delta }_i⟩{\delta }_i$,

où δ_i est le cycle évanouissant correspondant à x_i.

Exemple

Soit la famille projective de courbes hyperelliptiques de genre $g$ définies par

$y^2=(x-t)(x-a_1)\cdots (x-a_k)$,

où $t\in {𝔸}^1$ est le paramètre et $k=2g+1$. Ces courbes sont dégénérées pour $t=a_i$. La courbe étant (topologiquement) une somme connexe de $g$ tores, la forme d'intersection sur $H_1$ d'une courbe générique est donnée par la matrice

${\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{\oplus g}=\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \cdots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]$

la formule de Picard-Lefschetz formula autour d'une dégénérescence de ${𝔸}_t^1$ se calcule aisément : si $\gamma ,\delta$ sont les $1$-cycles du $j$-ème tore, la formule devient $w_j(\gamma )=\gamma -\delta$ si le $j$-ème tore contient le cycle évanouissant ; sinon, $w_j(\gamma )$ est l'application identité.

Bibliographie

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