Théorie des possibilités

En mathématiques et en informatique, la théorie des possibilités est une alternative à la théorie des probabilités pour représenter l'incertitude. Lotfi Zadeh a d'abord introduit la théorie des possibilités en 1978 comme une extension de sa théorie des ensembles flous et la logique floue. Didier Dubois et Henri Prade ont ensuite contribué à son développementModèle:,.

Formalisation de la possibilité

Étant donné un univers Ω que l'on suppose fini pour simplifier la présentation, une mesure ou distribution de possibilité est une fonction $\mathrm{pos}$ de $2^{\mathrm{\Omega }}$ dans [0, 1], c'est-à-dire à chaque sous-ensemble d'événements U, on associe pos(U) qui mesure la possibilité de U. Si pos(U) = 0 alors U est impossible, si pos(U) = 1 alors U est normal, sans surprise. La fonction satisfait trois axiomes :

1. $\mathrm{pos}(\varnothing )=0$
2. $\mathrm{pos}(\mathrm{\Omega })=1$
3. $\mathrm{pos}(U\cup V)=\max (\mathrm{pos}(U),\mathrm{pos}(V))$pour tout sous-ensemble $U$ et $V$

Si l'univers Ω est infini, l'axiome 3 s'écrit :

• Pour tout ensemble d'indices $I$, si les sous-ensembles $U_{i,i\in I}$sont deux-à-deux disjoints, alors $\mathrm{pos}\left(\bigcup _{i\in I}{U}_i\right)=\underset{i\in I}{\sup }\mathrm{pos}(U_i).$

Nécessité

La nécessité est le dual de la possibilité dans le sens suivant. On définit une fonction nec qui mesure la nécessité d'un sous-ensemble d'événements par : $\mathrm{nec}(U)=1-\mathrm{pos}(\bar{U})$.

Lien avec la théorie des probabilités

La théorie des possibilités généralise la théorie des probabilités dans le sens où se donner une fonction de possibilité revient à se donner une borne supérieure sur les probabilités :

$\{p:\mathrm{\forall }Sp(S)\le \mathrm{pos}(S)\}.$