Théorie k-catégorique

Modèle:Ebauche Modèle:Titre mis en forme En logique mathématique, une théorie est dite k-catégorique pour un nombre cardinal k si elle a exactement un modèle de cardinalité k (à isomorphisme près).

Théorème de Łoś-Vaught

Exemples de telles théories complètes

• La théorie des ensembles infinis est k-catégorique pour tout cardinal k infini.

  C'est une théorie du premier ordre en calcul des prédicats égalitaire pur qui comporte une infinité dénombrable d'axiomes, soit pour tout entier n ≥ 1 l'axiome « il existe au moins n éléments distincts » :

  $\mathrm{\exists }{x}_1,x_2,\dots ,x_n{\wedge }_{1\le i<j\le n}\mathrm{\neg }(x_i=x_j)$.

• Les quatre théories des ensembles densément ordonnés pour lesquels on précise s'ils ont ou non un premier ou un dernier élément sont Modèle:Lien et leurs modèles dénombrables sont isomorphes respectivement aux ensembles ordonnés de rationnels

  $]0,1[\cap \mathbb{Q},[0,1[\cap \mathbb{Q},]0,1]\cap \mathbb{Q},[0,1]\cap \mathbb{Q}$.

Voir aussi

Bibliographie

Modèle:En Modèle:Lien, Logic and Structure, "chap. 3.3 Some model theory", Springer-Verlag, 1991.

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