Théorie modèle-complète

En théorie des modèles, une théorie $T$ est dite modèle-complète si tout plongement entre modèle de $T$ est élémentaire. Cela équivaut à ce que toute formule soit équivalente à une formule universelle, c'est-à-dire que pour toute formule $\varphi (x_1,...,x_n)$, il existe une formule $\psi (x_1,...,x_n,y_1,...,y_k)$ sans quantificateur, telle que

$T\models \mathrm{\forall }{x}_1...\mathrm{\forall }{x}_n(\varphi (x_1,...,x_n)⟺\mathrm{\forall }{y}_1...\mathrm{\forall }{y}_k\psi (x_1,...,x_n,y_1,...,y_k))$

Cette notion a été introduite par Abraham Robinson.

Théories modèles-compagnes

Une théorie compagnon d'une théorie T est une théorie T* telle que tout modèle de T se plonge dans un modèle de T*, et réciproquement.

Une théorie modèle-compagne d'une théorie T est une théorie compagnon modèle-complète. Robinson a prouvé qu’une théorie possède au plus une théorie modèle-compagne. Cependant, toutes les théories n'en admettent pas, comme par exemple la théorie des groupes. On dispose néanmoins du critère suivant : si T est ${\mathrm{\aleph }}_0$-Modèle:Lien (ses modèles dénombrables sont isomorphes), alors elle possède une théorie modèle-compagne. Modèle:Sfn Modèle:Sfn

Une modèle-complétion d'une théorie T est une théorie modèle-compagne T * tel que pour tout modèle M de T, la théorie de T * augmentée du diagramme de M soient complets. Grossièrement, cela signifie que tout modèle de T peut être plongé dans un modèle de T * d'une unique façon.

Si T * est une théorie modèle-compagnion de T, alors les conditions suivantes sont équivalentes : Modèle:Sfn

• T * est une modèle-complétion de T
• T a la Modèle:Lien.

Si T possède également une axiomatisation universelle, les deux propositions ci-dessus sont équivalentes à :

• T * élimine les quantificateurs.

Exemples

• Une théorie qui élimine les quantificateurs est modèle-complète. La réciproque n'est pas vraie : un contre-exemple est donné par la théorie des corps réels clos dans le langage des anneaux, sans symbole pour l'ordre.
• La théorie des corps algébriquement clos est la modèle-complétion de la théorie des corps. Elle est modèle-complète, mais pas complète.
• La modèle-complétion de la théorie des relations d'équivalence est la théorie des relations d'équivalence avec une infinité de classes d'équivalence, chaque classe étant infinie.
• La théorie des corps réels clos, dans le langage des anneaux ordonnés, est une modèle-complétion de la théorie des corps ordonnés.

Contre-exemples

• La théorie des ordres linéaires denses avec extrémités est complète mais pas modèle-complète.
• La théorie des groupes (dans un langage avec des symboles pour l'unité, le produit et l'inverse) a la propriété d'amalgamation mais n'a pas de théorie modèle-compagnon.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Ouvrage

• Modèle:Lascar1

• Modèle:Article

• Modèle:Article