Théorème d'Erdős-Fuchs

Modèle:Homon Le théorème d'Erdős-Fuchs, en théorie combinatoire des nombres, a pour objet le nombre de façons de représenter un entier naturel n comme somme de deux éléments d'un ensemble donné. Il établit que la moyenne de Cesàro de cette fonction de n ne peut pas tendre « très vite » vers une constante non nulle.

Énoncé

Pour un ensemble fixé A d'entiers naturels, on associe à tout entier n le nombre r(n) de couples d'éléments de A dont n est la somme, et on note

$R(n)=\frac{r(0)+r(1)+\dots +r(n)}{n}.$

Si

$R(n)=C+o\left(\frac{1}{n^{3/4}\sqrt{\ln n}}\right),$

alors

$C=0.$

Motivation

Si A est l'ensemble des carrés parfaits, r(0) + … + r(n) est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque x, y ≥ 0, xModèle:2 + yModèle:2 ≤ n donc R(n) → Modèle:Math/4 avec une différence en [[Comparaison asymptotique#Domination|O(nModèle:Exp)]] et même, Modèle:Citation, en [[Fonction négligeable|o(nModèle:Exp)]]. Il est conjecturé que c'est en fait un O(nModèle:Exp) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, Modèle:Citation que ce n'est pas un O(nModèle:Exp). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments.

Article lié

• Fonction à variation lente

Liens externes

• Modèle:En « Erdős-Fuchs theorem », PlanetMath
• Modèle:Article