Théorème d'Iwaniec-Richert

Le théorème d'Iwaniec-Richert peut s'énoncer ainsi :

Il existe une infinité d'entiers n tel que nModèle:2 + 1 soit premier ou semi-premier.

Ce résultat a été obtenu par Iwaniec en 1978. Il fait suite à un article de B. V. Levin de 1960, dans lequel ce dernier montre qu'il existe Modèle:Math tel que la suite $(n^2+1{)}_{n=1,...,N}$ contienne au moins

$\frac{aN}{\ln N}+O\left(\frac{N\ln \ln N}{(\ln N{)}^{3/2}}\right)$

éléments ayant au plus cinq facteurs premiers.

En 1974, Halberstam et Richert, dans leur ouvrage Modèle:Lang, avaient obtenu le résultat effectif suivant. Soit Modèle:Math un entier qui n'est pas l'opposé d'un carré parfait, et soient Modèle:Math des nombres réels. Alors, le nombre d'entiers Modèle:Math vérifiant Modèle:Math et tels que Modèle:Math soit premier est majoré par :

$2\prod _{p>2,p\mid a}(1-\frac{(-a/p)}{p-1})\frac{y}{\ln y}\times \{1+O_a\left(\frac{\ln \ln 3y}{\ln y}\right)\},$

où Modèle:Math désigne le symbole de Legendre-Jacobi-Kronecker.

Articles connexes

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