Théorème de Beatty

Le théorème de Beatty est un théorème d'arithmétique publié en 1926 par le mathématicien canadien Samuel Beatty (mais déjà mentionné par Lord Rayleigh en 1894) qui donne une condition nécessaire et suffisante sur deux réels pour que les deux suites de Beatty associées partitionnent ℕ*.

Énoncé

Il affirme l'équivalence des deux points suivants, pour deux nombres réels $p$ et $q$ strictement positifs :

• Les nombres $p$ et $q$ sont irrationnels et vérifient $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$
• Les deux suites d'entiers $P=(\mathrm{\lfloor }np\rfloor {)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ et $Q=(\mathrm{\lfloor }nq\rfloor {)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$, dites « suites de Beatty », forment une partition de l'ensemble ℕ*.

Ce résultat ne se généralise pas : il est impossible de partitionner ℕ* avec trois suites ou plus de cette forme. Une question plus générale est la conjecture de Fraenkel.

Exemple

L'un des premiers exemples connus a été découvert dès 1907 par le mathématicien néerlandais Wythoff, indépendamment du théorème de Beatty. Pour $\phi$ le nombre d'or, nous avons :

$\frac{1}{\phi }+\frac{1}{{\phi }^2}=1.$

Les deux suites obtenues sont alors :

• $\lfloor n\phi \rfloor$, n > 0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... Modèle:OEIS
• $\lfloor n{\phi }^2\rfloor$, n > 0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... Modèle:OEIS

Les couples $(\lfloor n\phi \rfloor ,\lfloor n{\phi }^2\rfloor )$ apparaissent dans la résolution du jeu de Wythoff et caractérisent les positions à partir desquelles le joueur qui n'a pas le trait peut forcer sa victoire.

Voir aussi

Articles connexes

• Ensemble récursif
• Mot sturmien
• Théorème de Lambek-Moser

Liens externes

• Pages contenant des applets pour calculer les termes de la suite de Beatty, ou pour déterminer p et q en fonction des termes de la suite
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Ouvrages

• Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1, Cassini
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