Théorème de Gauss-Lucas

En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine.

Ce résultat est évoqué de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich GaussModèle:Refnec. Félix Lucas énonce et prouve ce résultat dans une communication à l'Académie des Sciences de 1879.

Motivation

Il est facile de remarquer que si Modèle:Math est un polynôme du second degré, le zéro de Modèle:Mvar est la demi-somme des zéros de Modèle:Mvar :

$P^{\prime }(x)=2ax+b=a(x-x_1+x-x_2)=0⟺x=-\frac{b}{2a}=\frac{x_1+x_2}{2}.$

Par ailleurs, si un polynôme de degré Modèle:Mvar à coefficients réels admet Modèle:Mvar zéros réels distincts Modèle:Math, on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle Modèle:Math.

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.

Énoncé

Soit Modèle:Mvar un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de Modèle:Mvar ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de Modèle:Mvar.

Preuve

Soit $P(z)=c\prod _{i=1}^r(z-a_i{)}^{n_i}$ la décomposition de Modèle:Mvar en facteurs irréductibles : le complexe Modèle:Mvar est le coefficient dominant du polynôme, les complexes Modèle:Mvar en sont les zéros distincts, les entiers Modèle:Mvar leurs multiplicités respectives.

On a alors :

$\frac{P^{\prime }(z)}{P(z)}=\sum _{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i}$.

En particulier,

$\text{si}{P}^{\prime }(z)=0\text{et}P(z)\ne 0$,

$\sum _{i=1}^r\frac{n_i}{z-a_i}=0\text{ou encore}\sum _{i=1}^r{n}_i\frac{\bar{z}-\overline{a_i}}{|z-a_i{|}^2}=0,$

ce qui s'écrit aussi

$\left(\sum _{i=1}^r\frac{n_i}{|z-a_i{|}^2}\right)\bar{z}=\sum _{i=1}^r\frac{n_i}{|z-a_i{|}^2}\overline{a_i}$.

En prenant les conjugués, on voit que Modèle:Mvar est un barycentre à coefficients positifs des Modèle:Mvar.

Le cas où Modèle:Mvar est aussi zéro de Modèle:Mvar est évident.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Marden
• Théorème de Sturm
• Conjecture d'Iliev-Sendov