Théorème de Meyers-Serrin

En analyse fonctionnelle, le théorème de Modèle:Lien-Serrin concerne l'équivalence de deux définitions des espaces de Sobolev.

Définitions préalables

Les notations sont celles de l'article espace de Sobolev.

Soit Ω un ouvert quelconque (non vide) de ℝModèle:Exp. Deux concepts qui sont souvent utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations sont les espaces H et les espaces W.

Plus précisément, si Modèle:Math est un entier naturel, Modèle:Math un réel tel que Modèle:Math et Modèle:Math est un multi-indice

• WModèle:Exp(Ω) est l'espace de Sobolev :

$\{u\in {\mathrm{L}}^p(\mathrm{\Omega });D^{\alpha }u\in {\mathrm{L}}^p(\mathrm{\Omega }),\mathrm{\forall }\alpha \in {\mathbb{N}}^n:|\alpha |\le m\}$

muni de la norme :

$\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}}:={(\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p}^p)}^{1/p}$

où Modèle:Math est une dérivée partielle de Modèle:Math au sens des distributions et $\Vert .{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p}$ désigne la norme de l'espace de Lebesgue Modèle:Math(Ω).

• HModèle:Exp(Ω) est l’adhérence dans WModèle:Exp(Ω) de CModèle:Exp(Ω) ∩ WModèle:Exp(Ω) ou encore le complété de l'espace vectoriel normé

$\{u\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega });\Vert u{\Vert }_{H^{m,p}}<\mathrm{\infty }\}$

avec

$\Vert u{\Vert }_{H^{m,p}}:={(\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{{\mathrm{L}}^p}^p)}^{1/p}$

où Modèle:Math est une dérivée partielle de Modèle:Math au sens classique (Modèle:Math ∈ CModèle:Exp(Ω)).

Énoncé

$W^{m,p}(\mathrm{\Omega })=H^{m,p}(\mathrm{\Omega })$Modèle:,

Remarque

Avant la publication de ce théorème, l'égalité H = W était démontrée pour des ouverts Ω particuliers (satisfaisant à certaines propriétés de régularité).