Théorème de la base normale
En mathématiques, le théorème de la base normale s'inscrit dans la théorie de Galois.
Il garantit que si L / K est une extension finie galoisienne de corps commutatifs, de groupe de Galois G, alors il existe un élément x de L dont l'orbite Gx est une base du K-espace vectoriel L. Autrement dit : la représentation naturelle de G sur L est équivalente à la représentation régulière.
Histoire
Ce théorème fut d'abord établi dans le cas des corps finis[1] : en 1850, Eisenstein démontra le cas où K est un corps premier fini[2] et Schönemann celui où le degré de l'extension est premier[3] ; c'est Hensel qui démontra le théorème pour les corps finis en toute généralité[4]. En 1932, ce résultat fut étendu à certains corps infinis par Emmy Noether[5], puis à tous par Deuring[6].
La démonstration de Deuring traitait simultanément tous les corps (finis ou infinis) grâce à l'« argument de Deuring-Noether »[1]Modèle:,[7]. La plupart des manuels proposent cependant une démonstration ultérieure d'Artin[8] dans le cas infini, formulée en termes de déterminants, et donnent un argument complètement différent pour le cas fini.
Ce théorème a été généralisé : il existe même un élément simultanément « libre » sur tous les corps intermédiaires (en qualifiant de « libres sur K » les éléments x dont le théorème de la base normale énonce l'existence)[9] : Faith l'a prouvé en 1957 pour les corps infinis (en étendant l'argument d'Artin)[10], mais ce n'est qu'en 1986 que ce résultat a été établi pour les corps finis, par Blessenohl et Johnsen[11].
Démonstration
La preuve suivante, inspirée de Deuring, consiste à décomposer de deux façons le K[G]-module (à gauche) des endomorphismes du K-espace vectoriel L, puis à invoquer le théorème de Krull-Schmidt[1]Modèle:,[12]Modèle:,[13].
Soient Modèle:Math le degré de l'extension, Modèle:Math une base du K-espace vectoriel L et Modèle:Math une base de son dual. Une première décomposition est
C'est non seulement une somme directe de K[G]-sous-modules mais aussi de L-sous-espaces vectoriels, donc EndModèle:Ind(L) est de dimension Modèle:Math sur L. Or d'après le théorème d'indépendance de Dedekind, les Modèle:Math éléments de G sont L-linéairement indépendants. Ils forment donc eux aussi une base du L-espace vectoriel EndModèle:Ind(L) :
Contrairement aux LModèle:Math, les LModèle:Math ne sont pas stables pour l'action à gauche de G, mais on a (en identifiant tout élément ℓ de L avec l'élément de EndModèle:Ind(L) « multiplication par ℓ ») :
ce qui permet de décomposer EndModèle:Ind(L) en K-sous-espaces vectoriels puis, en regroupant, en K[G]-sous-modules :
On aboutit ainsi à l'isomorphisme de K[G]-modules
dont on déduit, grâce au théorème de Krull-Schmidt, que L est isomorphe à K[G].