Théorème de prolongement de M. Riesz

Modèle:Homon Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.

Formulation

Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe.

Une forme linéaire

$\phi :F\to ℝ$

est dite K-positive si

$\mathrm{\forall }x\in K\cap F,\phi (x)\ge 0.$

Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire

$\psi :E\to ℝ\text{telle que}\psi {|}_F=\phi \text{et}\mathrm{\forall }x\in K,\psi (x)\ge 0.$

Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour

$E=ℂ,F=ℝ,K={ℝ}^{+}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}[0,\pi [}\text{et}\mathrm{\forall }x\in ℝ,\phi (x)=x,$

φ n'a pas de prolongement K-positif.

Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :

$K+F=E.$

Démonstration

Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E = F⊕ℝy.

Dans ce cas, étendre linéairement φ : F → ℝ en ψ : E → ℝ revient à choisir un réel Modèle:Math et à poser

$\mathrm{\forall }f\in F,\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,\psi (f+\lambda y)=\phi (f)+\lambda a.$

En considérant les f +λ y qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur Modèle:Math pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors :

$\sup \phi ((y-K)\cap F)\le a\le \inf \phi ((y+K)\cap F).$

(Remarquons que comme y et –y appartiennent à E = K + F = K – F par hypothèse, les deux ensembles φ((y – K)∩F) et φ((y + K)∩F) sont non vides, si bien que la borne supérieure du premier appartient à Modèle:Math et la borne inférieure du second à Modèle:Math.)

Le choix d'un tel réel Modèle:Math est donc possible dès que

$\mathrm{\forall }f,f^{\prime }\in F,\text{si}y-f\in K\text{et}{f}^{\prime }-y\in K\text{alors}\phi (f)\le \phi (f^{\prime })$

et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur Modèle:Math appartient à F∩K.

Corollaire : théorème de prolongement de Krein

Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et Modèle:Math un vecteur tel que

$K+ℝx=E\text{et}x\notin -K.$

Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ(Modèle:Math) = 1.

Références

• M. Riesz, « Sur le problème des moments : troisième note », dans Ark. Mat. Astronom. Fys., vol. 17, n° 16, 1923
• Modèle:Ouvrage

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