Théorème ergodique maximal

Modèle:Orphelin Le théorème ergodique maximal est un théorème qui s'inscrit dans la théorie ergodique, une branche des mathématiques.

Soient $(X,ℬ,\mu )$ est un espace de probabilité, $T:X\to X$ une transformation préservant la mesure (non nécessairement inversible), et $f\in L^1(\mu ,ℝ)$. On définit l'application $f^{*}$ par

$f^{*}=\underset{N\ge 1}{\sup }\frac{1}{N}\sum _{i=0}^{N-1}f\circ T^i.$

Alors le théorème ergodique maximal énonce que

$\underset{f^{*}>\lambda }{\int }fd\mu \ge \lambda \cdot \mu \{f^{*}>\lambda \}$

pour tout $\lambda \in ℝ$.

Ce théorème est utilisé pour prouver le théorème ergodique ponctuel.

Références

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