Théorème fondamental de l'algèbre linéaire

En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre linéaire est un ensemble d'énoncés concernant les espaces vectoriels et l'algèbre linéaire, popularisé par Gilbert Strang. La dénomination de ces résultats n'est pas universellement acceptée.

Plus précisément, soit Modèle:Mvar une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie, représentés par une matrice Modèle:Formule Modèle:Mvar de rang Modèle:Mvar, alors :

Modèle:Math est la dimension de l'espace colonne de Modèle:Mvar, qui représente l'image de Modèle:Mvar ;
Modèle:Formule est la dimension du noyau de Modèle:Mvar, qui représente Modèle:Math, le noyau de Modèle:Mvar;
Modèle:Formule est la dimension du conoyau de Modèle:Mvar.

La transposée Modèle:Formule de Modèle:Mvar est la matrice du dual Modèle:Mvar de Modèle:Mvar . Il s'ensuit que l'on a aussi :

Modèle:Math est la dimension de l'espace colonne de Modèle:Mvar, qui représente l'image de Modèle:Mvar;
Modèle:Formule est la dimension du noyau à gauche de Modèle:Mvar, qui représente le noyau de Modèle:Mvar;
Modèle:Formule est la dimension du conoyau de Modèle:Mvar.

Les deux premières assertions sont aussi appelées le théorème du rang, qu'on peut résumer en $r g M + d i m \ker M = n$ . On a également :

Modèle:Math est égal à l'orthogonal de Modèle:Math
Modèle:Math et Modèle:Math sont en somme directe dans $ℝ^{n}$

De plus, en considérant la décomposition en valeurs singulières de Modèle:Math, alors les colonnes de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar forment des bases orthonormales des quatre sous-espaces fondamentaux de Modèle:Mvar :

les Modèle:Mvar premières colonnes de Modèle:Mvar forment une base orthonormale de Modèle:Math
les Modèle:Mvar premières colonnes de Modèle:Mvar forment une base orthonormale de Modèle:Math
les Modèle:Mvar premières colonnes de Modèle:Mvar forment une base orthonormale de Modèle:Math
les Modèle:Mvar premières colonnes de Modèle:Mvar forment une base orthonormale de Modèle:Math