Tirage (mathématiques)
En mathématiques, en particulier dans le cadre de l'étude des probabilités, on effectue un tirage lorsqu'on sélectionne aléatoirement un sous-ensemble d'un ensemble d'éléments. L'analogie souvent donnée est celle d'une urne dont l'intérieur est invisible et contenant par exemple des boules numérotées ou colorées, dont l'opérateur prélève un nombre prédéfini.
Tirage sans remise
Soit une urne contenant Modèle:Mvar boules, dont Modèle:Mvar boules blanches. Les autres boules sont noires (il y en a donc Modèle:Math).
Considérons l'expérience suivante : tirer (sans remise) un échantillon de Modèle:Mvar boules.
La probabilité d'obtenir alors Modèle:Mvar boules blanches est donné par une loi hypergéométrique. Si on appelle Modèle:Mvar le nombre de boules blanches tirées, la probabilité d'en avoir Modèle:Mvar s'écrit et vaut : Modèle:Retrait
Ceci se comprend ainsi : le nombre de combinaisons correspondant à Modèle:Mvar boules blanches se calcule en multipliant le nombre de possibilités de tirage de Modèle:Mvar boules blanches parmi Modèle:Mvar (Modèle:Mvar aussi noté ) par le nombre de possibilités de tirage du reste, soit Modèle:Math boules noires parmi Modèle:Math (soit Modèle:Mvar). Il faut ensuite diviser ce nombre de possibilité par le nombre total de tirages (Modèle:Mvar) pour obtenir la probabilité cherchée.
Tirage avec remise
Il s'agit de retirer un objet, noter sa ou ses caractéristiques et le remettre dans l'urne. Ce problème est lié au problème d'occupation[1]Modèle:,[2]qui consiste à jeter Modèle:Mvar boules dans Modèle:Mvar urnes différentes et ensuite compter le nombre d'urnes vides.
Exemple de tirage avec remise
Pour une urne contenant Modèle:Mvar boules, la probabilité de les avoir toutes tirées au cours de Modèle:Mvar tirages successifs avec remise est de
Pour 201 boules, c'est à partir de 1986 tirages que l'on obtient une probabilité d'au moins 99 % de les avoir toutes tirées (Voir la démonstration du cas général).
Article connexe
Notes et références
- ↑ Modèle:Lien web.
- ↑ Statistical Inference in the Classical Occupancy Problem Unbiased Estimation of the Number of Classes, Bernard Harris, Vol. 63, No. 323 (Sep., 1968), pp. 837-847