Topologie codénombrable

En topologie — une branche des mathématiques —, la topologie codénombrable, variante de la topologie cofinie, est décrite dans le livre Modèle:Langue de Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr. (exemple 20 : Modèle:Citation étrangère).

C'est la topologie que l'on peut définir sur un ensemble X en prenant comme ouverts l'ensemble vide ainsi que les parties de X dont le complémentaire dans X est au plus dénombrable. Formellement, la topologie codénombrable sur X est :

$\{A\subset X\mid X\setminus A\text{ est au plus dénombrable ou }A=\varnothing \}$.

Propriétés

• La topologie induite sur une partie Y de X est la topologie codénombrable sur Y.
• Lorsque X est fini ou dénombrable, la topologie codénombrable sur X est en fait la topologie discrète sur X.
• Toute suite convergente de X est stationnaire.
• Les parties quasi-compactes de X sont les parties finies. Ainsi X est un espace KC.

Propriétés lorsque X est non dénombrable

• Ce n'est pas un espace séparé.
• Ce n'est pas un espace à bases dénombrables de voisinages.
• Ce n'est pas un espace séparable.
• C'est un espace de Lindelöf.
• Ce n'est pas un espace dénombrablement compact.
• C'est un espace irréductible donc connexe, localement connexe et Modèle:Lien.

Article connexe

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