Transformée sans parfum

La transformée sans parfum est une méthode permettant de calculer les statistiques d’une variable aléatoire qui subit une transformation non linéaire Modèle:,.

Elle est fondée sur l’idée qu’il est plus facile d’estimer une distribution gaussienne que d’approcher une fonction non linéaire .

Contexte

Considérons le système non linéaire $y=f(x)$, avec $x$ une variable aléatoire de moyenne $\overline{x}$ de covariance $P_{xx}$ et $y$ une variable aléatoire de statistique à déterminer. Un ensemble de points est choisi de manière déterministe telle que sa moyenne et sa covariance soient respectivement $\overline{x}$ et $P_{xx}$.

Ces points nommées "points sigma" capturent la forme de la densité de probabilité de $x$ .

La fonction non linéaire $f$ est appliquée à chacun de ces points afin d’obtenir un nuage de points transformés de moyenne $\overline{y}$ et covariance $P_{yy}$.

La densité de probabilité de la variable aléatoire x de dimension n, de moyenne $\overline{x}$ et de covariance $P_{xx}$ est approchée par $2n+1$ points pondérés donnés par :

$s_0=\overline{x}$

$s_i=\overline{x}+(\sqrt{(n+\lambda )P_{xx}}{)}_{i}i=1,..,n$

$s_{i+n}=\overline{x}-(\sqrt{(n+\lambda )P_{xx}}{)}_{i}i=1,..,n$

$W_0=\frac{\lambda }{(n+\lambda )}$

$W_i=W_{i+n}=\frac{1}{2(n+\lambda )}i=1,..,n$

où $\lambda \in ℝ$, $(\sqrt{(n+\lambda )P_{xx}}{)}_i$ est la $i^{eme}$ ligne ou colonne de la matrice racine carrée de $(n+\lambda )P_{xx}$ et $W_i$ est le poids associé au $i^{eme}$ point.

Procédure

La procédure de transformation est la suivante :

1. Transformer chaque point ${\chi }_i$ par la fonction non linéaire $f$ afin d'obtenir l'ensemble des points transformés :${\mathrm{{\rm Y}}}_i=f({\chi }_i)$
2. La moyenne $\overline{y}$ est donnée par la moyenne pondérée des points transformés : $\overline{y}=\sum _{i=0}^{2n}{W}_i\times {\mathrm{{\rm Y}}}_i$
3. La matrice de covariance $P_{yy}$ est donnée par : $P_{yy}=\sum _{i=0}^{2n}{W}_i({\mathrm{{\rm Y}}}_i-\overline{y})({\mathrm{{\rm Y}}}_i-\overline{y}{)}^T$