Transformation complexe

La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, × et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.

Principe

À une grandeur Modèle:Math, fonction sinusoïdale du temps d'expression :

$g(t)=\hat{G}\cdot \cos (\omega t+\phi )$,

on fait correspondre un nombre complexe : $\underset{\_}{G}$ de module Modèle:Mvar et d'argument Modèle:Mvar. En notant Modèle:Mvar l'unité imaginaire, la notation exponentielle s'écrit

$\underset{\_}{G}=G\cdot {\mathrm{e}}^{j(\omega t+\phi )}$,

RemarqueModèle:Référence nécessaire : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :

$\underset{\_}{G}=G(t)\cdot {\mathrm{e}}^{j\phi }$, avec : $G(t)=G\cdot {\mathrm{e}}^{j\omega t}$,

Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de Modèle:Mvar pour les dérivations ou les intégrations.

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

$G=\frac{\hat{G}}{\sqrt{2}}$

Opérations élémentaires

• Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.

• Dérivation

On dérive le nombre complexe image :

$\underset{\_}{G}=G\cdot {\mathrm{e}}^{j(\omega t+\phi )}$,

on obtient :

$\omega \cdot G\cdot {\mathrm{e}}^{j(\omega t+\phi +\frac{\pi }{2})}$ ou encore $j\omega \cdot G\cdot {\mathrm{e}}^{j(\omega t+\phi )}$

• Intégration

On intègre le nombre complexe image et on obtient :

$\frac{1}{\omega }\cdot G\cdot {\mathrm{e}}^{j(\omega t+\phi -\frac{\pi }{2})}$, ou encore $\frac{1}{j\omega }\cdot G\cdot {\mathrm{e}}^{j(\omega t+\phi )}$

Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)

Dans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction Modèle:Math du type :

$g(t)=\hat{G}\cdot \cos (\omega t+\phi )$,

On note $\underset{\_}{g}$ un nombre complexe associé à Modèle:Math égal à :

$\underset{\_}{g}=G\cdot e^{j\phi }\cdot {\mathrm{e}}^{j\omega t}$

• $|\underset{\_}{g}|$ est égal à la valeur efficace de Modèle:Math,
• $\arg (\underset{\_}{g})$ est égale à la phase totale de Modèle:Math (incluant le Modèle:Math).

Le terme $G\cdot {\mathrm{e}}^{j\phi }$ est appelée amplitude complexe de s car elle caractérise le signal tandis que le terme Modèle:Math est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que $g(t)=\mathrm{\Re }(\underset{\_}{g})$. $\underset{\_}{g}$ est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de $g(t)$. Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.