Transversalité

Modèle:Confusion En algèbre linéaire et en géométrie différentielle, la propriété de transversalité est un qualificatif pour l'intersection de sous-espaces ou de sous-variétés. Elle est en quelque sorte l'opposé de la notion de tangente.

Deux sous-espaces vectoriels $F$, $G$ d'un espace vectoriel $E$ sont dits transverses quand $F+G=E$. Cette condition peut être réécrite, le cas échéant, en termes de codimension :

$\mathrm{codim}(F)+\mathrm{codim}(G)=\mathrm{codim}(F\cap G)$.

Deux sous-espaces affines $Y$, $Z$ d'un espace affine $X$ sont dits Modèle:Refnec, c'est-à-dire si

$\overrightarrow{Y}+\overrightarrow{Z}=\overrightarrow{X}$.

Deux sous-variétés $M$ et $N$ d'une variété différentielle $P$ sont dites transverses lorsque, pour tout point $x$ de $M\cap N$, les espaces tangents $T_{x}M$ et $T_{x}N$ sont transverses dans l'espace tangent $T_{x}P$, c'est-à-dire si

$T_{x}P=T_{x}M+T_{x}N$

Dans la suite, $m,n,p$ désignent les dimensions respectives de $M,N,P$.

Remarques :

• La définition reste valable pour les variétés banachiques.
• Deux sous-variétés disjointes sont transverses.
• Si $m+n<p$, alors la condition de transversalité ne peut être vérifiée que si les sous-variétés $M$ et $N$ sont disjointes.

On a donc dans ce cas les relations

$\dim (M\cap N)=\dim (M)+\dim (N)-\dim (P)$

et

$\mathrm{codim}(M\cap N)=\mathrm{codim}(M)+\mathrm{codim}(N).$

Par exemple, deux surfaces régulières de l'espace à trois dimensions sont transverses si et seulement si elles n'ont aucun point de tangence. Dans ce cas, leur intersection forme une courbe régulière (éventuellement vide).

La notation $M⋔N$ indique chez certains auteurs que $M$ et $N$ sont transverses.

Généricité

En général, deux sous-variétés s'intersectent transversalement, quitte à perturber l'une d'elles par une isotopie.