Triangle de Héron

Modèle:Ébauche Un triangle est appelé triangle de Héron (ou triangle héronien) si les longueurs de ses côtés ainsi que son aire sont exprimés en nombres entiers naturels non nuls. En condensé, c'est un triangle entier d'aire entière.

D'après la formule de Héron il s'agit de déterminer les solutions $(a,b,c,S)$ en nombres entiers naturels de l'équation diophantienne $16S^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ en prenant $0<a⩽b⩽c$.

On attribue à Héron d'Alexandrie la solution $(13,14,15,84)$.

Les trois premières solutions ordonnées par la croissance du plus grand côté $c$ sont (3, 4, 5, 6), (5, 5, 6, 12), (5, 5, 8, 12).

Les suites donnant les valeurs successives de $a,b,c,\text{et }S$ sont, dans l'encyclopédie des suites entières : Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C.

Voici une méthode pour déterminer des triangles de Héron ; on peut paramétrer les quatre inconnues $(a,b,c,S)$ par trois entiers $(m,n,k)$ de la façon suivante :

$\begin{array}{ccc}a& =& n(m^2+k^2)\\ b& =& m(n^2+k^2)\\ c& =& (m+n)(m.n-k^2)\\ S& =& k.m.n(m+n)(m.n-k^2)\end{array}$

Ces constructions garantissent, pour toutes les valeurs de $(m,n,k)$ choisies, une solution $(a,b,c,S)$ valide.

Voir aussi

Articles connexes

• Triangle de Brahmagupta, triangle de Héron dont les côtés sont des entiers consécutifs
• Tétraèdre de Héron
• Suite d'Alcuin, donnant le nombre de triangles entiers de périmètre donné.
• Quadrilatère de Brahmagupta
• Pentagone de Robbins

Liens externes

• Triangles héroniens sur le site de Gérard Villemin