Variable antithétique

Les variables antithétiques sont une des techniques de réduction de la variance employées dans la méthode de Monte-Carlo. Il s'agit de tirer parti de certaines symétries d'une distribution et de la corrélation négative entre deux variables aléatoires.

Principe

On souhaite estimer $\theta =𝔼(h(X))$, où Modèle:Mvar est une variable aléatoire et $𝔼$ désigne son espérance mathématique. La méthode de Monte-Carlo de base consiste à simuler Modèle:Mvar variables iid selon la loi de Modèle:Mvar, disons Modèle:Math, puis à estimer Modèle:Mvar par

$\hat{\theta }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}h(X_i)$.

On peut avoir une idée de l'erreur commise en construisant un intervalle de confiance ; ce dernier nécessite un estimateur de la variance de l'estimateur ${\sigma }_{\hat{\theta }}^2$.

Supposons que l'on dispose de deux échantillons de taille Modèle:Mvar ; le premier est noté Modèle:Math et le second Modèle:Math. Pour simplifier les notations, on pose Modèle:Math les estimateurs empiriques de l'espérance de Modèle:Math sur respectivement l'échantillon 1 et 2. Autrement dit, on aura

$m_1=\frac{h(X_1)+\cdots +h(X_n)}{n}$

et

$m_2=\frac{h(X{\text{'}}_1)+\cdots +h(X{\text{'}}_n)}{n}$.

L'estimateur Monte-Carlo sur l'échantillon complet est simplement

$\hat{\theta }=\frac{m_1+m_2}{2}$

et, du point de vue de la variance :

${\sigma }_{\hat{\theta }}^2=\frac{{\sigma }_{m_1}^2+{\sigma }_{m_2}^2+2\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(m_1,m_2)}{4}$.

Dans le cas iid, la covariance s'annule et (seulement vrai quand n → ∞) ${\sigma }_{m_1}^2={\sigma }_{m_2}^2$, si bien que ${\sigma }_{\hat{\theta }}^2={\sigma }_{m_1}^2/2$ : le facteur 2 s'explique car on a doublé la taille de l'échantillon.

La technique de la variable antithétique consiste à choisir l'échantillon 2 identiquement distribué selon la loi de Modèle:Mvar mais en renonçant à l'indépendance, plus précisément en s'arrangeant pour que $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(m_1,m_2)<0$. Il faut donc exploiter les éléments de symétrie de la loi de Modèle:Mvar afin de construire le second échantillon à partir du premier, en s'assurant de la négativité de la covariance. Ce faisant, la variance sera inférieure à la variance "normale" ${\sigma }_{m_1}^2/2$.

Par exemple, si la loi de Modèle:Mvar est la loi uniforme sur [0;1], le premier échantillon sera simplement Modèle:Math, où pour tout i, Modèle:Mvar est tirée selon $𝒰(0;1)$. On construit le second échantillon Modèle:Math, en posant pour tout i: Modèle:Math. Si les Modèle:Math sont uniformes sur [0;1], alors il en va de même pour les Modèle:Math. De plus, la covariance est négative, ce qui permet de réduire la variance initiale.

Un autre exemple concerne la loi normale $𝒩(\mu ,s)$. En appliquant la transformation Modèle:Math, où $x_i\sim 𝒩(\mu ,s)$, on obtient un tirage selon $𝒩(\mu ,s)$, qui est négativement corrélé avec le premier tirage Modèle:Mvar

Exemple : estimation d'une intégrale

On souhaite estimer

$I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x$.

La valeur exacte est $I=\ln 2\approx 0,69314718055995$. Cette intégrale peut se voir comme l'espérance de Modèle:Math, où

$f(x)=\frac{1}{1+x}$

et Modèle:Mvar distribuée selon une loi uniforme sur [0;1].

On compare l'estimateur Monte-Carlo classique (échantillon de taille Modèle:Math, avec Modèle:Math, tiré selon la loi uniforme standard) à l'estimateur avec variable antithétique (échantillon de taille n, complété par l'échantillon transformé Modèle:Math). La variance se réduit comme suit

	Estimation	Variance
Méthode classique	0,69365	0,02005
Variable antithétique	0,69399	0,00063

On constate une très nette réduction de la variance dans le cas de l'utilisation d'une variable antithétique.

Notes et références

Bibliographie

• M. Hammersley et K. W. Morton, A new Monte Carlo technique antithetic variates, Proc. Camb. Phil. Soc., 52, 449, 1956.

Liens externes

• Modèle:Pdf un cours sur la réduction de la variance