Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants

En mathématiques, l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (ou équation auxiliaire de celle-ci) est une équation polynomiale dont dépend la solution de l'équation différentielle, linéaire, homogène, et à coefficients constants associée.

Une telle équation différentielle d'ordre n, avec $y$ comme variable dépendante et $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0$ comme constantes,

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

aura une équation caractéristique de degré n de la forme

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

dont les racines $r$ permettront de former la solution générale de l'équation différentielleModèle:,Modèle:,.

Leonhard Euler a introduit l'équation caractéristique pour intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients constants, étude prolongée par Augustin-Louis Cauchy et Gaspard MongeModèle:,.

Principe

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants $a_n,a_{n-1},\dots ,a_1,a_0$,

$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0.$

on peut voir que si $y(x)=e^{rx}$, chaque terme sera un multiple de $e^{rx}$ par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle $e^{rx}$ est un multiple d'elle-même. Par conséquent, $y^{\prime }=r{e}^{rx}$, $y^{″}=r^2{e}^{rx}$ et $y^{(n)}=r^n{e}^{rx}$ sont toutes multiples de $e^{rx}$. On peut en déduire que certaines valeurs de $r$, permettront à des multiples de $e^{rx}$ d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène. Pour trouver les valeurs de $r$, on peut remplacer $y$ et ses dérivées par $e^{rx}$ et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :

$a_n{r}^n{e}^{rx}+a_{n-1}{r}^{n-1}{e}^{rx}+\cdots +a_{1}r{e}^{rx}+a_0{e}^{rx}=0.$

Puisque $e^{rx}$ ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique

$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0.$

En trouvant les racines $r$ de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielleModèle:,.

Formation de la solution générale

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, $r_1,\dots ,r_n$, permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, $h$ racines réelles multiples et/ou $k$ racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales $y_D(x)$, $y_{R_1}(x),\dots ,y_{R_h}(x)$, et $y_{C_1}(x),\dots ,y_{C_k}(x)$, alors la solution générale de l'équation différentielle est

$y(x)=y_D(x)+y_{R_1}(x)+\cdots +y_{R_h}(x)+y_{C_1}(x)+\cdots +y_{C_k}(x).$

Exemple

L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

$y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y^{″}-20y^{\prime }-12y=0$

a pour équation caractéristique

$r^5+r^4-4r^3-16r^2-20r-12=0.$

En factorisant l'équation caractéristique, on obtient :

$(r-3)(r^2+2r+2{)}^2=0.$

On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle $r_1=3$ et les racines doubles complexes $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$. Cela correspond à la solution générale à valeurs réelles

$y(x)=c_1{e}^{3x}+e^{-x}(c_2\cos x+c_3\sin x)+x{e}^{-x}(c_4\cos x+c_5\sin x)$

où $c_1,\dots ,c_5$ sont des constantes réelles arbitraires.

Racines réelles simples

Le principe de superposition des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants dit que si $u_1,\dots ,u_n$ sont $n$ des solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle particulière, alors $c_1{u}_1+\cdots +c_n{u}_n$ est aussi une solution pour toutes les valeurs $c_1,\dots ,c_n$. Par conséquent, si l'équation caractéristique a pour solution les racines réelles distinctes $r_1,\dots ,r_n$, alors la solution générale sera de la forme

$y_D(x)=c_1{e}^{r_{1}x}+c_2{e}^{r_{2}x}+\cdots +c_n{e}^{r_{n}x}.$

Racines réelles multiples

Si l'équation caractéristique a une racine $r_1$ qui est répétée $k$ fois, alors il est clair que $y_p(x)=c_1{e}^{r_{1}x}$, au moins, est solution. Mais cela ne suffit pas : à cette racine $r_1$ d'ordre $k$ doivent correspondre $k$ solutions indépendantes. Puisque $r_1$ est racine multiple d'ordre $k$, l'équation différentielle peut être factorisée en :

${(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-r_1)}^{k}y=0.$

Le fait que $y_p(x)=c_1{e}^{r_{1}x}$ soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme $y(x)=u(x)e^{r_{1}x}$ où $u$ est une fonction à déterminer.

En remplaçant $y$ par $u{e}^{r_{1}x}$ on obtient :

$(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-r_1)u{e}^{r_{1}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u{e}^{r_{1}x})-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}u{e}^{r_{1}x}-r_{1}u{e}^{r_{1}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u)e^{r_{1}x}.$

En appliquant ce fait $k$ fois, il s'ensuit que

${(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-r_1)}^{k}u{e}^{r_{1}x}=\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}(u)e^{r_{1}x}.$

L'équation différentielle sur $y$ équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur $u$ :

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}(u)e^{r_{1}x}=0.$

En divisant par $e^{r_{1}x}$, elle devient :

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{x}^k}(u)=u^{(k)}=0.$

Par conséquent, $u$ est solution si et seulement si c'est un polynôme de degré inférieur ou égal à $k-1$, soit

$u(x)=c_1+c_{2}x+c_3{x}^2+\cdots +c_k{x}^{k-1}.$

Puisque $y(x)=u{e}^{r_{1}x}$, la partie de la solution générale correspondant à la racine $r_1$ est

$y_{R_1}(x)=e^{r_{1}x}(c_1+c_{2}x+\cdots +c_k{x}^{k-1}).$

Racines complexes

Modèle:Voir Dans le cas d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients réels constants, si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme $r_1=a+b\mathrm{i}$ et $r_2=a-b\mathrm{i}$, alors la solution générale à valeurs complexes est

$y(x)=c_1{\mathrm{e}}^{(a+b\mathrm{i})x}+c_2{\mathrm{e}}^{(a-b\mathrm{i})x},c_1,c_2\in ℂ$

ou, ce qui est équivalent :

$y(x)={\mathrm{e}}^{ax}(d_1\cos (bx)+d_2\sin (bx)),d_1,d_2\in ℂ$.

L'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes $d_1,d_2$.